人教B版（2019）必修第三册8.1.2向量数量积的运算律 （共19题） 一、选择题（共12题） 已知 ，，，则向量 与 的夹角为 A． B． C． D． 若 ，则 与 的夹角 的取值范围是 A． B． C． D． 给出下列命题： （）若 ，则 ； （） 不平行 ，且 ，则 ； （）若 ，则 ； （）若 ，则 ． 则正确的命题个数是 A． B． C． D． 若向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于 A． B． C． D． 若 ， 都是单位向量，则下列结论一定正确的是 A． B． C． D． 已知向量 ， 满足 ，， 与 的夹角的余弦值为 ，则 等于 A． B． C． D． 已知向量 ，，若 ，则 与 夹角的余弦值为 A． B． C． D． 设 ，向量 ，，且 ，则 A． B． C． D． 已知 ，，，且 与 垂直，则 等于 A． B． C． D． 已知向量 ，．若向量 满足 ，，则 A． B． C． D． 设点 ，， 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知平面向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，记 ，则 的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 已知两个单位向量 ，，且 ，则 ， 的夹角 为 ． 设向量 ，．若 ，则 ． 设 是半径为 的圆上一动点．若该圆的弦 ，则 的取值范围是 ． 如图，在矩形 中，，，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则 的值是 ． 三、解答题（共3题） 在锐角 中，已知 ，求角 的值． 已知向量 ，，其中 ， 是互相垂直的单位向量． (1) 求向量 在向量 方向上的投影； (2) 设向量 ，，若 ，求实数 的值． 已知三个点 ，，． (1) 求证：； (2) 若四边形 为矩形，求点 的坐标及矩形 两对角线所成锐角的余弦值． 答案 一、选择题（共12题） 1. 【答案】D 【解析】由 ， 两边平方得 ， ． 设向量 与 的夹角为 ， 则 ， 所以 ． 2. 【答案】C 【解析】由 知 ， 故夹角 的取值范围是 ． 3. 【答案】A 4. 【答案】A 5. 【答案】D 6. 【答案】D 【解析】由题意知 ，所以 ，． 7. 【答案】D 【解析】因为 ，， 所以 ． 又因为 ， 所以 ， 解得 ，则 ， 故 ． 故选D． 8. 【答案】A 9. 【答案】A 10. 【答案】D 【解析】设 ， 则 ，， 因为 ，则有 ， 即 ，又 ， 则有 ， 联立 解得 所以 ． 11. 【答案】C 【解析】已知 ，， 三点不共线， 与 的夹角为锐角， 故“ 与 的夹角为锐角”是“”的充分必要条件． 12. 【答案】C 【解析】如图， ，，则 ，则 ， 因为 ，其中 ， 于是 与 ， 共起点，且终点共线，即在直线 上， 于是 时（即 ） 最小，最小值为 ，无最大值． 二、填空题（共4题） 13. 【答案】 【解析】由题意得 ， 所以 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 14. 【答案】 【解析】因为 ，， 所以 ，， 由 得 ，即 ， 即 ，所以 ． 15. 【答案】 16. 【答案】 【解析】，所以 ，， 因此 三、解答题（共3题） 17. 【答案】由 ， 得：， 构造向量 ，， 由 ， 得：， 化简整理得：， 所以 ，又 ，从而 ． 由不等式取等号条件知 ，故而 ． 18. 【答案】 (1) 因为 ，，， 是互相垂直的单位向量， 所以 ， ， ， 所以向量 在向量 方向上的投影为 ． (2) 因为 ，，， 则 ，即 ， 即 ，解得 ． 19. 【答案】 (1) 由题知，，， 所以 ， 所以 ，所以 ． (2) 设点 的坐标为 ， 则根据四边形 为矩形得 ，即：， 所以 解得 ，，所以 ． 所以 ，， 所以 ， 矩形 两对角线所成锐角的余弦值为 ． ... ...
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