人教A版（2019）选修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质 （共18题） 一、选择题（共10题） 过点 与双曲线 只有一个公共点的直线有 A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 如果椭圆 的离心率为 ，那么双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为双曲线 的右支上一点，且 ，则 的面积为 A． B． C． D． 已知双曲线 的离心率为 ，则 上任意一点到两条渐近线的距离之积为 A． B． C． D． 已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，若 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 已知 ， 是双曲线 与椭圆 的公共焦点，点 是曲线 ， 在第一象限的交点，若 的面积为 ，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 已知常数 ， 满足 ，．设 和 分别是以 和 为渐近线且通过原点的双曲线，则 和 的离心率之比 A． B． C． D． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 作平行于 的渐近线的直线交 于点 ，若 ，则 的离心率为 A． B． C． D． 设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线上的一点，若 ，则点 到 轴的距离为 A． B． C． D． 已知过双曲线 的中心的直线交双曲线于点 ，，在双曲线 上任取与点 ， 不重合的点 ，记直线 ，， 的斜率分别为 ，，．若 恒成立，则双曲线 离心率的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题（共5题） 写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程 ． ①中心在原点，焦点在 轴上； ②一条渐近线方程为 ； ③焦距大于 ． 过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线与双曲线交于 ， 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，则双曲线的渐近线方程为 ． 是双曲线 上的一点，，，设 ，， 的面积为 ，则 的值为 ． 设 ， 为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上，若 ，且 ，则 ． 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作 轴的垂线 ， 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于 ， 两点．若 ，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（共3题） 焦点在 轴上的双曲线过点 ，且点 与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程． 已知双曲线 的两个焦点为 ，，并且 经过点 ． (1) 求双曲线 的方程； (2) 过点 的直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，求直线 的方程． 已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，且过点 ． (1) 求双曲线 的方程； (2) 设 为双曲线的左顶点，直线 过坐标原点且斜率不为 ， 与双曲线 交于 ， 两点，直线 过 轴上一点 （异于点 ），且与直线 的倾斜角互补， 与直线 ， 分别交于 ，（， 不在坐标轴上）两点，若直线 ， 的斜率之积为定值，求点 的坐标． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】B 【解析】因为双曲线的方程为 ， 所以 ，， 所以双曲线的渐近线方程为 ， 点 在直线 上， 如图所示： 当过点 的直线与直线 平行或与 轴垂直（过右顶点）时，该直线与双曲线只有一个公共点， 所以这样的直线有 条． 故选B． 2. 【答案】A 【解析】由已知椭圆的离心率为 ，得 ， 所以 ． 所以 ． 所以双曲线的离心率 ． 3. 【答案】A 【解析】因为在双曲线 中，，，， 所以 ，，． 因为 ， 所以 ． 所以在 中，， 所以 ， 所以 的面积为 ． 4. 【答案】B 【解析】因为双曲线的离心率是 ，所以 ，解得 ， 故双曲线方程为 ，即 ， 渐近线方程为 ，即 ， 则 上任意一点 到两条渐近线的距离之积为 ． 5. 【答案】D 【解析】设 ，椭圆的长轴长为 ，双曲线的实轴长为 ， 则 ， 由椭圆的定义得 ， 由双曲线的定义得 ， 因此 ， 即 ， 则 ， 于是 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立， 故最小值等于 ． 6. 【答案】A 【解析】根据题意，设 ， 椭圆 的方程为：，则其焦点为 和 ，则双曲线的焦点 ， 分别为 和 ，则有 ， 若 的面积为 ，则 ，解可得 ， 又由 在椭圆上，则有 ，解可得 ... ...
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