中小学教育资源及组卷应用平台 2024北师版高中数学必修第二册同步练习题 第二章 平面向量及其应用 §5 从力的做功到向量的数量积 5.3 利用数量积计算长度与角度 基础过关练 题组一 向量长度的计算 1.(2021河南商丘诊断性考试)已知|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为,则|a-b|=( ) A. B.2 C.2 D.4 2.(2023湖南衡阳第四中学开学考试)若平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. B.2 C.4 D.12 3.(2021山东淄博三模)已知向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=1,则|2a+b|=( ) A.3 B. C.7 D. 4.(2023湖北宜昌英杰学校月考)已知向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= . 题组二 向量夹角的计算 5.(2023浙江省名校协作体开学考试)若向量a,b满足|a|=,|b|=2,a⊥(a-b),则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 6.(2022江西部分重点中学联考)已知向量a=(x,1),b=(-2,y),若2a+b=(2,6),则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 7.(2022北京房山中学月考)若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知点A(-1,2),B(0,1),C(1,3),则向量与向量的夹角的余弦值为 . 9.(2021江苏泰州中学月考)若向量a与b的夹角为,且a是单位向量,|b|=2,c=2a+b,则向量c与b的夹角为 . 10.(2022江苏盐城田家炳中学期中)已知向量a,b满足a=(1,,且a·(a+b)=7. (1)求a和b的夹角θ的大小; (2)在△ABC中,若=b,求||. 11.(2021河南省实验中学期中)已知向量a=(3,2),b=(x,-1),x∈R. (1)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时,求|a+b|; (2)当c=(-8,-1),a∥(b+c)时,求向量a与b的夹角α. 能力提升练 题组一 向量长度的计算 1.(2022湖北十堰丹江口第一中学期中)已知a=(1,n),b=(-1,n).若2a-b与b垂直,则|a|= ( ) A.1 B. C.2 D.4 2.(2021河南天一大联考)已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,点E为BC的中点,点F为CD的中点,则||=( ) A. B. C.4 D.2 3.(2022广东名校联盟联考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC=2,点M为边BC(不含端点)上一点. (1)求·的最小值; (2)延长AM到点P,使得AP=5,且,求CM的长. 题组二 向量夹角的计算 4.(2022北京五中段测)已知向量m,n满足|m|=1,|n|=2,若2m·n=|2m-n|,则向量m,n的夹角θ=( ) A. B. C.或π D.或π 5.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是 . 6.(2023上海华东师范大学第二附属中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,2a+b=0,2|c-a|=|c-b|,则c-b与a夹角的最大值为 . 题组三 平行与垂直问题 7.(2021福建厦门第一中学模拟)已知非零向量a,b满足a⊥b,且a+2b与a-2b的夹角为120°,则=( ) A. B. C. D. 8.(2023上海复旦大学附属中学月考)已知在平面直角坐标系中的非零向量a,b,若向量a,b的线性组合a+3b与7a-5b相互垂直,a-4b与7a-2b相互垂直,则
= . 9.已知a=(2+sin x,1),b=(2,-2),c=(sin x-3,1),d=(1,k)(x,k∈R). (1)若x∈,且a∥(b+c),求x的值; (2)是否存在实数k,使(a+d)⊥(b+c) 若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第二章 平面向量及其应用 §5 从力的做功到向量的数量积 5.3 利用数量积计算长度与角度 基础过关练 1.A 2.B 3.D 5.A 6.B 7.C 1.A (a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2×2×1×cos+12=3,所以|a-b|=.故选A. 2.B 易得|a|==2,a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×=1, ∴|a+2b|=,故选B. 3.D 由已知可得|a-b|2=a2-2a·b+b2=2-2a·b=1,则a·b=,因此|2a+b|=.故选D. 4.答案 解析 因为a⊥c,所以a·c=(x,1)·(-2,2)=-2x+2=0,解得x= ... ... 
