(
课件网) 第四章 2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值. 2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明. 基础落实·必备知识全过关 知识点1 对数的运算性质 可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk) =logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+) 条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R 性质 (1)loga(M·N)=logaM+logaN (2)loga =logaM-logaN (3)logaMb=blogaM 名师点睛 1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”. 2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.例如: log23+log2 =log2(3× )=log24=2. 过关自诊 1.[人教A版教材例题]求下列各式的值: (1) ;(2)log2(47×25). (2)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19. 2.[人教B版教材例题]用logax,logay,logaz表示下列各式: (2)loga(x3y5); (2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay. 知识点2 换底公式 一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab= .这个结论称为对数的换底公式. 名师点睛 1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数. 过关自诊 1.[人教B版教材例题]求log89×log2732的值. 2.[人教A版教材例题]尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1) 解 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2. 由lg E=4.8+1.5M,可得lg E1=4.8+1.5×9.0, lg E2=4.8+1.5×8.0. 于是,lg =lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5. 利用计算工具可得, =101.5≈32. 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 3.[人教B版教材例题]求证:lobs= logab,其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0. 重难探究·能力素养全提升 探究点一 对数运算性质的应用 【例1】 计算下列各式的值: (2)lg 52+ lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3. 规律方法 对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法 收 将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数 拆 将积(商)的对数拆成对数的和(差). 对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式 变式训练1计算: =3+2lg 10=3+2×1=5. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323- =2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 探究点二 换底公式的应用 【例2】 计算下列各式的值: (1)log89·log2732; (2)(log43+log83) 规律方法 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题. 2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路: 变式训练2计算:(1)log23·log36·log68; (2)(log23+log43)(log32+lo ... ...
