北师大版（2019）选择性必修第一册3.4.1直线的方向向量与平面的法向量 同步练习（含解析）

第三章§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 A级 必备知识基础练 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A. B. C. D. 2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为(　　) A. B. C. D. 3.下列说法中不正确的是(　　) A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果向量a,b与平面α共面,且向量n满足n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量 4.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 5.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D. 6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系是　　　　　. 7.[2023广东江门高二期末]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面ABB1A1的一个法向量; (2)求平面MBD1的一个法向量. 8.设有三点A(1,2,-1),B(0,3,1),C(4,-1,2),求: (1)△ABC的面积S; (2)与向量同时垂直的单位向量. B级 关键能力提升练 9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为(　　) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 10.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则正确的说法有(　　) A.是共线向量 B.的单位向量是(1,1,0) C.夹角的余弦值是- D.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3) 11.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是(　　) A.(1,-4,2) B. C. D.(0,-1,1) 12.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.平面OCB1的法向量n=(x,y,z)为(　　) A.(0,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1) 13.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α上任意一点,则点P的坐标满足的方程是　　　　　　　　. 14.已知O为坐标原点,四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且与坐标平面xOz相交于点D,则点D的坐标为　　　　　. 15.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,点F在PB上,问点F在何位置时,为平面DEF的一个法向量 C级 学科素养创新练 16.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置. 参考答案 §4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 1.D　如图, ∵CC1,AA1,BB1均垂直于平面ABC,故选项D中可以作为平面ABC的法向量.故选D. 2.B　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2,所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,所以平面ABC的一个单位法向量可以是 3.D　选项A,B,C的说法显然正确.对于D选项,只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理:与平面内两条相交直线都垂直的直线垂直于相交直线所在的平面.故选D. 4.D 5.ABC　因为=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,A正确;因为=-4+4=0,所以AP⊥AD,B正确;由AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,可得是平面ABCD的一个法向量,C正确;直线BD在平面ABCD内,则AP⊥BD,D错误.故选ABC. 6.PM⊥AM　以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 可得D(0,0,0),P(0,1,),C( ... ...