4.1指数 一．选择题（共4小题） 1．正实数，及函数满足，且，则的最小值为 A．4 B．2 C． D． 2．设，，是自然对数的底数，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知函数，则的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量．已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则 A．5太贝克 B．太贝克 C．太贝克 D．150太贝克 二．填空题（共4小题） 5．由，得成立．已知函数，对于实数，，满足，，则实数的最大值为 ． 6．已知函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“翔宇一品数”．若已知函数，则在，上的“翔宇一品数”是 ． 7．已知实数、满足，且，则的取值范围是 ． 8．化简的结果是 ． 三．解答题（共2小题） 9．已知函数． （1）求证：不论为何实数，在上均为增函数； （2）若为奇函数，求的值； （3）在（2）的条件下，求在区间，上的最大值和最小值． 10．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 4.1指数 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．正实数，及函数满足，且，则的最小值为 A．4 B．2 C． D． 【分析】由已知须先求出的解析式，然后代入，及可得含有入，的式子 ，再利用均值不等式求出的范围，即可解答的最小值来． 【解答】解：由已知得，由 于是可得：， 所以得：，① 设，则①式可得：，又因为， 于是有：或（舍，从而得，即：， 所以得：． 所以有：的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查函数最值的求法，指数函数的性质，函数解析式的运算，指数的运算，均值不等式的应用，考查的思想方法较综合，考查学生的运算能力要求较强． 2．设，，是自然对数的底数，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】将等式进行转化，构造函数，利用函数的单调性即可得到结论． 【解答】解：方程等价为， 设，则函数在上单调递增， ， ， 即（a）（b），，故正确． 由，得，若，则， 即，则， 由，得，若，则， 即，则， 即若，则或都有可能，故，不一定正确． 故选：． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 3．已知函数，则的零点个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先利用导数与函数单调性的关系分析在时的图象，再利用分段函数图象的作法作出函数的图象，然后利用换元法令，将零点问题转化为方程根的个数，先求出的值，然后再利用数形结合，求出根的个数，从而得到的零点个数． 【解答】解：当时，，则在上单调递减，令（a），则， 作出函数的图象如图所示， 令，则，解得或， 所以或， 当时，根据图象可得，与有两个交点，则方程有两个根，所以有两个零点； 当时，根据图象可得，与有一个交点，则方程有一个根，所以有一个零点； 综上可得，的零点个数为3个， 故选：． 【点评】本题考查了函数零点个数的判断，对于零点个数问题一般转化为方程根的个数，进一步转化为两个函数图象的交点个数，再利用数形结合法分析，本题解题的关键是正确作出函数的图象，经常运用了导数与函数单调性的关系分析函数的特征进行作图． 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量．已知时，铯137含量的变化率是（太贝克年），则 A．5太贝克 B．太贝克 C．太贝克 D．150太贝克 【分析】由时 ... ...
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