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课件网) 第八章 排列组合 分类计数原理与分步计数原理 8.1 排列 8.2 组合 8.3 组合数的性质 8.4 排列组合的应用 8.5 二项式定理 8.6 8.1 分类计数原理与分步计数原理 观察 小华从小就开始学习计数（即数数）．例如，妈妈买回15个苹果放在桌上，小华会一个一个地数苹果，得出桌上有15个苹果． 小华开始学习算术了．桌上有一堆苹果（15个），一堆梨（20个）．小华会先数出苹果有15个，然后数出梨有20个，最后做加法：15+20=35，得出桌上共放了35个水果． 分类计数原理与分步计数原理 8.1 抽象 上述例子说明了一个计数原理，即 分类计数原理 如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，那么分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数． 分类计数原理与分步计数原理 8.1 分类计数原理与分步计数原理 8.1 1 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？ 取一个球的方法可以分成两类：一类是从装红球的袋子里取一个球，两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有40种取法；另一类是从装白球的袋子里取一个球，有60 种取法．因此取法共有 例 解 分类计数原理与分步计数原理 8.1 探索 小明所在学校的教学楼，每一层的两头各有一座楼梯．小明走进教学楼后，想上楼去第四层的教室．他有多少种上楼的走法？ 小明从一层到二层有两种上楼的走法；对于其中的每一种走法，小明从二层到三层都有两种上楼的走法；对于从一层到二层，然后到三层的每一种走法，小明从三层到四层又有两种上楼的走法．图8.1-1绘出了示意图． 因此小明上楼的走法共有 这个例子说明了另一个计数原理，即 分步计数原理 如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步的做法的数目相同，那么依次计算各步的做法数目，它们的乘积就是要计数的对象的总数． 分类计数原理与分步计数原理 8.1 2 两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个红球和一个白球，有多少种取法？ 取一个红球和一个白球可以分成两步来完成：第一步，从装红球 的袋子里取一个球，有40种取法；对于每一种取法，第二步，从装 白球的袋子里取一个球，都有60种取法．因此取一个红球和一个白 球的方法共有 例 解 分类计数原理与分步计数原理 8.1 比较例2与例1，想一想：什么情况下计数的对象可以分类？什么 情况下计数的对象可以分步完成？识别这两种情况是解决计数问题的关键． 3 某城市的电话号码由8位数组成，其中从左边算起的第1位数只能用6 或8，其余7位可以从自然数中任意取，允许数字重复.试问：该城市最多可装电话多少门？ 装一门电话需要指定一个电话号码．由于第1位只能用6或8，因此电话号码可以分成两类：第1位用6的是第一类，第1位用8的是第二类． 第一类电话号码还剩下7位．此时指定一个电话号码可以分成7步来完成： 第一步，确定第2位的数字，有10种取法； 对于这每一种取法，第二步确定第3位的数字，又有10种取法（因为允许数字重复）； 对于第一、二步已取好的每一对数字，第三步确定第4位数字，又有10种取法； 例 解 分类计数原理与分步计数原理 8.1 对于第一至第六步已经取好的每一组数字，第七步确定第8位的数字，又有10种取法． 因此第一类电话号码共有 ． 同理，第二类电话号码也有个． 根据分类计数原理得，该城市所用的电话号码一共有 ． 从而最多可装电话门，即两千万门． 从例3看到，有些计数问题既要用分类计数原理，又要用分步计数原理．通常是先把计数的对象分类，然后对每一类里的对象用分步计数原理． 分类计数原理与分步计数原理 8.1 8.2 排列 观察 从小明、小亮、小刚 ... ...
