5.3.3 最大值与最小值 教学设计

5.3.3　最大值与最小值 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a，b]上所有点（包括端点a，b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 函数极值的定义是什么？ 2．探究活动． 求函数f(x)的极值的步骤． 二、建构数学 1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，f(x2)是极大值．函数在上的最大值是，最小值是． 　　　　　　　　　　　　 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值． 说明： （1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； （3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤： 由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求在内的极值； （2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值． 三、数学运用 例1　求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]内的最大值和最小值． 例2　求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0，2π]上的最值． 注：在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么，只要根据实际意义判定 是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 练习： 设在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a＞b，求a，b的值． 四、回顾小结 （1）函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； （2）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； （3）闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值． 五、课外作业 1．课本第91页练习第2，3，4题． 2．补充． 求函数y＝x4＋x3＋x2在区间 [－1，1]上的最值．