5.3 导数在实际生活中的应用 同步教学设计

5.4　导数在实际生活中的应用 教学目标： 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进 学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值； 通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力 的提高． 教学重点： 如何建立实际问题的目标函数． 教学难点： 如何建立实际问题的目标函数． 教学过程： 一、问题情境 问题1　把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大 问题2　把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 问题3　做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？ 二、新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题． 1．几何方面的应用（面积和体积等的最值）． 2．物理方面的应用（功和功率等最值）． 3．经济学方面的应用（利润方面最值）． 三、知识应用 例1　在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 说明1　解应用题一般有四个要点步骤：设－列－解－答． 说明2　用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极 值及端点值比较即可． 例2　圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省？ 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 说明1　这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 ． 说明2　用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：　　S1　列：列出函数关系式； S2　求：求函数的导数； S3　述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最 大（小）值，必要时作答． 例3　在如图所示的电路中，已知电源的内阻为，电动势为．外电阻为 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？ 说明　求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解． 例4　强度分别为的两个光源，它们间的距离为，试问：在连接 这两个光源的线段上，何处照度最小？试就时回答上述问题．（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比） 例5　在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为；出售单位产品的收益称为收益函数，记为；称为利润函数，记为． （1）设，生产多少单位产品时，边际成本最低？ （2）设，产品的单价，怎样的定价可使利润最大？ 变式　已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 四、课堂练习 1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_____和___． 2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大． 3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？ 4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b． 五、回顾反思 （1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义． （2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求 ... ...