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课件网) 14.1.3 反证法 第14章 勾股定理 解析： 由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知：a2 +b2 =c2 如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ A C B a b c 复习引入 如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形一定不是直角三角形.这个命题是真命题吗？ 做一做：画出如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ (1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6； (2)a=2, b =3,c=4； (3) a = 2, b =2. 5,c =3. 我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是一个直角三角形,与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所画图形都不是直角三角形. (1) (2) (3) 思考：由此,可以得到什么猜想？ 探究新知 分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发, 直接经过推理,得出结论,十分困难.我们可以换一种思 维方式,用如下方法证明这个结论: 探究：（1）假设它是一个直角三角形; 猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时, 这个三角形不是直角三角形. 思考：怎样证明这个猜想是正确的呢？ 像这样的证明方法叫“反证法”. a b c C A B 探究新知 （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形. 反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证． 反证法的定义： 引出新知 问题情境： 一个班级有64名学生，则至少有两名学生的生日月份相同. 引出新知 证明：假设所有的学生生日月份都不同. 如果每名同学的生日月份都不同，则全班64名同学的生日月份有64个，这与一年有12个月相矛盾. 所以假设不成立，则至少有两名同学的生日月份. 反设 归谬 结论 推理 反设———归谬———结论，即： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与基本事实、定理、定义或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立 反证法证明命题的一般步骤： 引出新知 引出新知 之前的学习中，用到反证法的例子有：证明不是有理数（八年级上册课本12页）；证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等（七年级上册课本175页）。 反证法是数学证明的一一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竞能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一.种间接的证明方法. 例1 求证:两条直线相交只有一个交点. 证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假设 l1与l2有两个交点A和B. 点拨： 想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法. 例题讲解 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾. 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 例2 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°， 即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°. 例题讲解 点拨：至少的反面是没有！ 于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°, 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以△ABC中至少有一个内角小 ... ...
