3．1 复数的概念 最新课程标准 学科核心素养 1.通过方程的解，认识复数． 2．理解两个复数相等的含义． 1.理解复数的概念、表示法及相关概念．(数学抽象) 2．理解复平面、实轴、虚轴的概念．(直观想象) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的含义．(数学运算、逻辑推理) 教材要点 要点一 复数的概念及其代数表示法 1．复数的定义：形如_____(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做_____，满足：i2＝_____． 2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即_____，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的_____，实数b叫做复数z的_____． 要点二 复数的分类 1．复数的分类 2．集合表示 要点三 复数相等 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R) 相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di，当且仅当_____且_____． 状元随笔 (1)理解复数与复数集的概念应注意以下几点 ①复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. ②复数的虚部是实数b而非bi. ③复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． (2)复数代数形式的应用 ①从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) ②当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( ) (2)复数z1＝2i，z2＝i，则z1>z2.( ) (3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.( ) (4)复数z＝bi是纯虚数．( ) 2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是( ) A．3和5i B．3和－5i C．－3和－5i D．－3和－5 3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( ) A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m≠1 4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝_____，y＝_____． 题型 1 复数的概念 例1 (多选)下列说法中，错误的是( ) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 方法归纳 利用复数的概念时的注意点 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． 跟踪训练1 下列说法中，正确的是( ) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若a>b，则a＋i>b＋i 题型 2 复数的分类 例2 已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，当实数m取什么值时，z是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 方法归纳 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0. 跟踪训练2 (1)“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？ 题型 3 复数相等 例3 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值． (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的 ... ...
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