6.2 利用导数研究函数的性质 练习 一、单选题 1．已知函数，则下列说法正确的是( ) A．在上是增函数 B．若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 C．若有两个根，则 D．若，且，则的最大值为 2．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．设函数，则（ ） A． B． C． D．以上都不正确 4．已知，则的最小值为（ ）. A． B．8 C．20 D．10 5．定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知函数的图像与直线相切,设,若存在,使得,则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数的图像关于点对称，且当，成立.若，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．已知实数，，，且，则必有（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论中不正确的是（ ）. A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 10．定义在上的函数满足，则（ ） A． B．若，则为的极值点 C．若，则为的极值点 D．若，则在上单调递增 11．已知，则（ ） A．当，，时， B．当，，时， C．当，，时， D．当，，时， 12．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若的图象在处的切线与直线垂直，则实数 C．当时，不存在极值 D．当时，有且仅有两个零点，且 三、填空题 13．已知函数是定义在R上连续的奇函数，为的导函数，且当时，成立，则函数的零点个数是 . 14．已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为 ． 15．已知，，，则的最小值是 . 16．已知函数，，，现有以下四个命题： ①是奇函数； ②函数的图象与函数的图象关于原点中心对称； ③对任意，恒有； ④函数与函数的最小值相同. 其中正确命题的序号是 . 四、解答题 17．如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）． (1)若，求的长度； (2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米4万元，种植经济作物的成本为每平方百米2万元，新建道路的成本为每百米2万元，求三项费用总和的最小值． 18．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以为圆心，（为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元． (1)设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积； (2)如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值． 19．已知函数． (1)求的极值； (2)作在处的切线交的图象于另一点，若，求的斜率． 20．已知，其中． (1)请利用的导函数推出导函数，并求函数的递增区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点的切线平行，求（化简为只含的代数式）； (3)证明：当时，存在直线，使得既是的一条切线，也是的一条切线． 参考答案 1．A 【分析】A选项，由题，，判断在上的单调性即可； B选项，由，得，构造函数，求出其单调性，得，再次构造函数，求出其最大值即可; C选项，由有两个零点，可得，设，则，又，后研究在上的单调性即可； D选项，因，及在上单调递增， 可得. 又，则， 故，再次构造函数，求出最大值可判断选项. 【详解】对于A选项，，. 又当时，，则在上是增函数，故A正确； ... ...
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