3.1.2函数的单调性_教学设计（表格式）

课题 函数的单调性 教学目标 教学目标： 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会用定义证明简单函数的单调性； 2.经历从定性到定量的概念形成过程，体现了数学抽象的一般过程，培养学生的数学抽 象的素养； 3.通过构建一个从具体到抽象，从特殊到一般的过程，使学生归纳概括出用严格数学语 言精确刻画单调性的方法，提升数学运算和直观想象的素养. 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明. 教学难点：符号语言的引入，对“任意 ”“都有 ”等涉及无限取值的语言的理解和使用. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 3 分钟 （一）知识 引入 教师引导：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样 我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认 识．那么什么是函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的不 变性，变化中的规律性 ”．研究函数性质，就是要学会在运动变化中 发现规律. 请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数，我 们通过什么来研究它们的性质呢？ 师生活动：学生回答，师生共同得到结论：通过图象研究函数性 质. 问题 1：请看下面的函数图象，从中能发现什么变化中的规律？ 师生活动：教师利用 PPT 展示例子，学生观察图象并回答问题．学 生的回答可能涉及很多方面（如升降变化，对称性，最高点或最低点 等），教师引导学生关注图象从左到右升降变化的特点. 追问：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质．你能回顾一 下初中的知识，用定性的方法描述前两个图象从左到右的升降变化 吗？即 y 随 x 的增大是如何变化的？ 预设：第一个图象从左到右是上升的，即在 (一伪, +伪) 上，y 随 x 的增大而增大；第二个函数在 (一伪, 一1) 及 (0.2, 1) 两个区间上，从左 到右图象分别上升， y 随 x 的增大而增大；在 (一1, 0.2) 及 (1, +伪) 两 个区间上，从左到右图象分别下降， y 随 x 的增大而减小. 教师指出：本节课我们继续研究这一性质，我们要用定量的方法 刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律. 设计意图： 通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结 合初中已学的定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务. 12 分钟 （二）函数 单调性的 定量刻画 1.具体实例的分析 问题 2： 初中我们研究过二次函数，现在我们以函数 y = x2 为 例，我们知道在区间 (一伪, 0] 上， y 随 x 的增大而减小．请问你是怎 样理解“ y 随 x 的增大而减小 ”的？你能说说它的数量特征吗？ 师生活动：学生独立思考并交流. 设计意图：从刻画数量特征的角度进行描述，促使学生深入思考 单调性，从定性描述转向定量刻画. 追问 1：“x 增大了 ”如何用符号语言表示？“对应的函数值y 减 小 ”又该如何表示？观察下表，你能给出具体的描述吗？ x…-5-4-3-2-1…f(x) = x 2 …2516941 … 师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律， 如：当 x 从-5 增大到-4 ，函数值 f(x) 从 25 减小到 16； 当 x 从-4 增大到-3 ，函数值 f(x) 从 16 减小到 9； 当 x 从-3 增大到-2 ，函数值 f(x) 从 9 小到 4； …… 追问 2：这样的变化过程能写的完吗？你能借助字母符号，归纳 出上述具体数值变化的共同点吗？ 师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最 后得到符号表示“只要 x1 < x2 ，就有f(x1 ) > f(x2 ) ”. 追问 3：这里对 x1 ，x2 有什么要求？只取 (一伪, 0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？ 师生活动：让学生展开讨论，教师适当引导，并举出反例进行说 明，要让学生明确，应该是区间 (一伪, 0]上的所有数对 x1 ， x2 . 预设反例：如图象所示函数，我们 可以找到 a < b 、f(a) > f(b) ，但很 明显函数在区间 [a, b] 上并不单调递 减. ... ...