3.4.2函数的零点与方程的解_教学设计（表格式）

课题 函数的零点与方程的解 教学目标 教学目标： 1. 了解函数零点与方程解的关系， 了解函数零点存在定理，会判断函数零点个数. 2. 通过利用函数的性质来研究方程的解，来培养学生的数形结合思想， 数学转化思想. 3. 在利用函数的性质来研究方程的解的过程中，发展学生的直观想象， 数学运算等核心素养. 教学重点 ：对函数零点概念的理解. 教学难点 ：零点存在定理. 教学过程 时间 教学环节 主要师生活动 一 、 引入 方程的根与函数的零点 提问： 求方程 x2 - 2x - 3 = 0 的根， 并画出函数 f(x) = x2 - 2x - 3 的图象， 并 思考这二者之间什么关系？ 学生活动：二次函数与横轴的交点横坐标为方程的根； 设计意图： 用函数的观点看待方程,把方程的解理解为"使函数值为 0 的自变量",建 立了二者之间的内在联系.进一步引出函数零点的概念. 二 、零点定义 与例题 函数零点的概念 ： 对于函数 y = f (x) ,我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y = f (x) 的零点. 例 1： 求下列方程的解并进一步说明相应函数的零点 （1） x2 + x +1=0 （ 2） x - =0 （3） ln x + 2x - 6 = 0 （ 4） x × 2x + 2x - 6=0 解：（1）由于方程 x2 + x +1 = 0 的判别式小于零，从而此方程没有解，也说明函数 f(x) = x2 + x +1没有零点. （2） 为求方程 x - = 0 的根， 可以通过适当地变形转化为二次方程求根， 可得 方程的解为 x = 1 ，从而也可以说明函数 f(x) = x - 有零点，且零点为 1. （3） 和（4）没有求根公式可以应用， 引导学生思考如何借助函数来研究相应方程 的解。 设计意图：通过上面具体的例子让学生体会方程的解与函数的零点，前两个例子可 以通过代数运算求得方程的解， 但对于较复杂的方程， 我们又要怎样研究它的解 呢？ 三 、零点存在 定理 提问： 判断函数 f(x) = ln x + 2x - 6 有没有零点. 设计意图：通过上面的例子，已经知道方程 ln x + 2x - 6 = 0 的解目前没有好的 办法进行处理，对于比较复杂的方程， 引导学生思考如何借助函数来研究它的 解. 这里主要应用两个办法， 第一是借助函数图象， 进行直观的观察函数的零 点； 第二是借助函数的零点存在定理. 为了得到零点存在定理，先让学生完成下 面的问题. 请同学们再画出一些有零点的函数图象和一些没有零点的函数图象.并思 考函数 y = f (x) 在什么条件下有零点，什么条件下无零点. 学生活动：无零点 ：图象在 x 轴上方或下方，函数值恒正或恒负.有零点穿 过 x 轴. 简化为只研究图象连续不间断的情况 进一步提问 ：如果函数 y = f (x) 在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条 曲线，你认为函数 y = f (x) 在什么条件下有零点？ 学生活动： 图象在 x 轴上方 、 下方都存在， 函数值有正或有负. 设计意图： 引出零点存在定理 零点存在定理：如果函数 y = f (x) 在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲 线， 并且有 f(a) × f(b) < 0 ,那么， 函数 y = f (x) 在区间（a,b） 内有零点. 例 2： 函数 f(x) = ln x + 2x - 6 在以下那个区间一定存在零点？ 为什么？ A (0, 1) B (1, e) C (e, 3) D (3, 4) 解： 由于 f(1) < 0, f(e) > 0 ，且函数 f(x) = ln x + 2x - 6 在定义域内连续，利 用零点存在定理可得： 函数 f(x) = ln x + 2x - 6 在(1,e)内有零点. 四 、零点个数 上面问题利用零点存在定理解决了函数零点存在的问题， 当然也就解决了相应 方程解的问题，那么要如何解决函数零点个数问题？ 对例 2 继续追问： 函数 f(x) = ln x + 2x - 6 有几个零点？ 为什么？ 学生活动 ：加入单调性的条件. 至此， 我们解决了函数零点的存在性与唯一性 的问题. 分析： 判断函数 f(x) = ln x + 2x - 6 单调性， 易见这个函数在其定义域内为递 增函数，从而此函数在定义域内有唯一零点. 推论 ... ...