中小学教育资源及组卷应用平台 2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义(全国通用) 讲座二 相似 专题02 平行线分线段成比例 ( 课标要求 ) 1. 理解相似三角形的概念. 2. 理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论,掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明. 3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用,会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算. ( 知识点解读 ) 一、相似三角形的定义 三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 二、比例的相关概念及性质 1.线段的比:两条线段的比是两条线段的长度之比. 2.比例中项:如果=,即b2=ac,我们就把b叫做a,c的比例中项. 3.比例的性质 性质 内容 性质1 = ad=bc(a,b,c,d≠0). 性质2 如果=,那么. 性质3 如果==…=(b+d+…+n≠0),则=(不唯一). 4.黄金分割:如果点C把线段AB分成两条线段,使,那么点C叫做线段AC的黄金分割点,AC是BC与AB的比例中项,AC与AB的比叫做黄金比. 三、平行线分线段成比例(基本事实) 1.一般地,我们有平行线分线段成比例的基本事实: 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 符号语言:若a∥b∥c , 2.平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 四、相似三角形的引理 判定三角形相似的定理:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似. ( 思维方法 ) 一、比例线段及其性质 1.比例的基本性质:组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项. 2.对于四条线段长分别为a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如a∶b=c∶d(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 3.判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比 是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系. 二、三角形相似的两种常见类型 ( 考点 例题讲析 ) 【例题1】下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.4cm,2cm,1cm,3cm B.1cm,2cm,3cm,5cm C.3cm,4cm,5cm,6cm D.1cm,2cm,2cm,4cm 【例题2】点C是AB的黄金分割点,AB=4,则线段AC的长为 . 【例题3】如图,在△ABC中, EF∥BC. (1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点, AE = BE=7,FC = 4 ,那么 AF 的长是多少? (2) 如果AB = 10,AE=6,AF = 5,那么 FC 的长是多少? (2)在△ABC中, EF∥BC. ( 考点精炼 ) 1. 如图,直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C,交直线l5于点D、E、F,直线l4、l5交于点O,且l1∥l2∥l3,已知EF∶DF=5∶8,AC=24. (1)求的值; (2)求AB的长. 2.宽与长的比是(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD,分别取AD、BC的中点E、F,连接EF:以点F为圆心,以FD为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH 3.如图,.若,,则_____. 4. 如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么BC/CE的值等于 . 5. 如图,在 ABCD中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于点F,请找出图中所有的相似三角形,并求出相应的相似比. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台 2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲 ... ...
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