课件编号17961888

5.5两角和与差的正弦,余弦和正切公式 第一课时 教学设计(表格式)

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中教案 查看:27次 大小:106321Byte 来源:二一课件通
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两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)教学设计 教学目标 教学目标: 1. 借助圆的旋转对称性和三角函数的定义推导两角差的余弦公式,并利用公式进行简单的求值; 2. 在公式推导中,体会特殊与一般,数形结合的思想,感受知识间内在联系; 3. 在公式的推导和应用中,发展数学推理和数学运算的素养. 教学重点:两角差的余弦公式的推导和应用. 教学难点:两角差的余弦公式的推导. 教学过程 时 间 教学 环节 主要师生活动 温 故 知 新 知识回顾 sin(c + 2kπ) = sinc, cos(c + 2kπ) = cosc, 这是我们最熟悉的两个诱导公式即终边相同角的三角函数值相同。类似的诱导公式还 有很多。利用这些公式对三角函数进行恒等变形,可以达到化简、求值或证明的目的。 这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换. 利用诱导公式化简 (k eZ) : cos( π 一 β) = sinβ cos(π 一 β) = 一 cos β cos(一c) = cosc 2 , , cos(c 一 ) = 一sinc cos(c 一 2kπ) = cosc,k e Z. . , 探 究 新 知 (一) 引发思考. 之前的三角恒等变换中,可以发现它们都是特殊角与任意角c(β)的差的余弦,变 换后的结果都与这个任意角c(β)正弦或余弦有关,如果把特殊角化为任意角β (α) , 则 cos(c 一 β) 的公式展开式会与哪些值有关呢? 对比特殊角与任意角差c(β)的余弦, α-β的余弦与 sinα , cosα, sinβ, cosβ有关. 那么有着怎样的具体关系呢?我们共同探索 (二) 利用问题链,推导公式. 教师引领:为了探索 cos(c 一 β) 与 sinα , cosα, sinβ, cosβ 的等量关系,我们借助 图形加以研究。 思考:我们借助哪些工具探究 cos(α- β)与 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ间的关系? 根据以往经验: sin(c + 2kπ) = sinc, cos(c + 2kπ) = cosc, 诱导公式即用到了三角函数的定义,x=cosα,y=sinα , 根据单位圆的特殊对称性。如图 单位圆上的任意一点,旋转 2kπ,仍然在单位圆上,且此时位置不变的特征,推导公式。 类比诱导公式的推导经验,单位圆推导。 活动 1: 动手作图: 以 x 轴非负半轴为始边,任取两角α 、 β , (c 牛 β+2kπ, k eZ) 终边分别交单位圆于 A1 ,P1, 学生可能出现以下几类情况: 师: 由于角的终边情况比较复杂,不妨从简单的情况入手讨论, 设角α , β为锐角,且α>β . 活动 2:如何确定横坐标为 cos(α-β)的点 p? 度量α-β的角度,OA 逆时针旋转该角度, 终边交单位圆于 p. 我们现在找到了这样三个特殊的点. p(cos(c - β), sin(c - β)), A1 (cos β, sin β), P1 (cos c, sinc). 活动 3:如何发现 cos(α-β)与 sinα , cosα, sinβ, cosβ的等量关系? 需要关注单位圆中α-β 、α、β相关的恒量关系? 发现: 经AOP = 经A1OP1 = c- β, AP = A1P1,ΔAOP = ΔA1OP1 牵 活动 4:指明线段 A1P1 =AP 的依据. ( AP = AP )1 1 . (法一)扇形 AOP 绕着点 o 旋转β角,则点 A、P 分别点 A1,P1 重合,则AP = A1P1 , 所以AP = A1P1 . 与推导诱导公式用到的圆的特殊对称性不同,这里是单位圆上任意一个点,旋转任意 角度后仍在单位圆上,即反映了圆的旋转对称性。 (法二)经AOP = 经A1OP1 = c- β , 在单位圆中ΔAOP = ΔA1OP1 ,所以AP = A1P1 . 活动 5:下面利用两条线段AP = A1P1 相等的关系,推导 cos(α-β)与α、β三角函数值的 关系. 平面上任意两点平面上任意两点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) , 如图可得,AB 间的距离为 AB = (x1 一 x2 )2 + (y1 一 y2 )2 根据两点间距离公式分别表示线段 AP 与 A1P1, AP2 = [cos(c-β)-1]2 + sin2 (c一 β) . A1P12 = (cosc 一 cos β)2 + (sinc 一 sin β)2 . [cos(c-β)-1]2 + sin2 (c 一 β) = (cosc 一 cosβ)2 + (sinc 一 sinβ)2 . :cos(c-β)2 一 2 cos(c ... ...

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