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课件网) 第2章 常用逻辑用语 2 . 1 命题、定理、定义 一、命题 定 义 可判断真假的陈述句叫作命题. 【思考】 根据命题的定义思考,命题可分为哪几类 提示：一类是判断为真的命题，即真命题； 另一类是判断为假的命题，即假命题. (1) 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等! (2) 有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形； (3) 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； 例如： (4) 对顶角相等； (5) 若 x2＝1，则 x＝1； (6) 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余. 其中语句(1)(2)(4)(6)判断为真，语句(3)(5)判断为假. 因而它们都是命题. ● 观察上述命题中的 (1)(3)(5)(6)，这些命题具有怎样的表示形式 观察上述命题中的(1)(3)(5)6)可以发现，这些命题都具有“如果 p，那么q”或“若 p，则q”的形式. 命题(1)中：p 是“两条平行直线被第三条直线所截”，q 是“同位角相等”； 命题(3)中：p 是“两个三角形的面积相等”，q 是“这两个三角形全等”； 命题(5)中：p 是“x2＝1”，q 是“x＝1”； 等等. 例如： 数学中，许多命题可表示为“_____” 或“_____”的形式，其中_____叫作命题的条件，_____ 叫作命题的结论. 一般形式 如果 p，那么 q 若 p，则 q p q 例 1 指出下列命题中的条件 p 和结论 q： (1) 若 ab ＝ 0，则a ＝ 0； (2) 若 a＜0，则 a＞0； 解：p：ab ＝0，q：a＝0. 解：p：a＜0，q：∣a∣＞0. (3) 如果二次函数 y＝x2＋k 的图象经过坐标原点，那么k＝0； (4) 如果两个三角形的三边分别对应相等,那么这两个三角形全等. 解：p：二次函数y＝x2＋k的图象经过坐标原点， q：k＝0. 解：p：两个三角形的三边分别对应相等， q：这两个三角形全等. 例 2 将下列命题改写成“若 p，则 q ”(或“如果 p，那么 q”)的形式： (1)有一个内角是 60°的等腰三角形是正三角形； 解： 若一个等腰三角形有一个内角是 60°， 则这个三角形是正三角形. (2) 对顶角相等； (3) 平行四边形的对角线互相平分； 解： 若两个角是对顶角，则这两个角相等. 解： 如果一个四边形是平行四边形， 那么这个四边形的对角线互相平分. (4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 解： 如果一个四边形的对角线互相平分， 那么这个四边形是平行四边形. 例 3 判断下列命题的真假： (1) 若 a＝b，则a2＝b2； (2) 若 a2＝b2，则a＝b； 解：当a＝b时，显然有a2＝b2. 所以，命题为真. 解：当a＝1，b＝－1时，a2＝b2＝1，即由a2＝b2， 不能推出a＝b. 所以，命题为假. (3) 全等三角形的面积相等； 解：由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时， 这两个三角形的面积一定相等. 所以，命题为真. (4) 面积相等的三角形全等. 解：如图 ，直角三角形 ABC 与等腰三角形A′BC 同底等高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等. 所以，命题为假. 二、定理的含义 (1) 已经被证明为真的命题； (2) 可以作为推理的依据而直接使用. 三、定义的含义和特点 定 义 对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 例如：“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”. 特 点 用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别. 例如：“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的. 【基础小测】 1. 辨析记忆 (对的打“ ”，错的打“ ”) (1) 疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题. ( ) (2) 定理都是真命题. ( ) (3) 命题“当 x∈R时，x2 是正数”是真命题. ( ) 命题都是陈述句. 定理是已经被证明为真的命题. 当 x＝0 时 x2＝0，故此命题是假命题. 2. 将命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成 “如果p， ... ...
