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课件网) 第6章 幂函数指数函数和对数函数 6 . 2 指数函数 试考察下列问题： (1) 在 4.1节研究细胞分裂时，得到函数 y＝2x. (2) 在4.2.2节的例10 中，得到函数y＝0.999 879x. (3) 庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭” (“捶”同“棰”). 设经过的天数为 x (天)，木棰剩余的长度为 y (尺)，则有 y＝()x. ●函数 y＝2x，y＝0.999 879x，y＝()x具有什么共同特征 这些函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量，这样的函数称为指数函数. 庄子，战国中期著名的思想家、哲学家和文学家，是道家学派的主要代表人物之一，主要著作有《庄子》. 一、指数函数 一般地， 函数 y＝ax (a＞0，a≠1) 叫作指数函数(exponential function)，它的定义域是 R . 【思考】 当指数函数的底数 a＝0，a＝1，a＜0时，对自变量 x的取值有何影响 提示：(1) 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义. (2) 如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，该函数无意义. (3) 如果 a＝1，则 y＝1x 是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0，且a≠1. 在图6-2-1中，我们同时画出了指数函数 y＝10x，y＝2x和 y＝()x 的图象. 观察图6-2-1，通过研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等，我们可以发现指数函数的性质如表 6-2-1 所示. 二、指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 (1) 定义域：_____ (2) 值域： _____ (3) 图象过定点_____，图象在 x 轴上方 (4)在(－∞，＋∞) 上是增函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1. 在(－∞，＋∞)上是减函数； 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1. R (0，＋∞) (0，1) 注意： 在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数的大小有如下关系： ① 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小： ② 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y的取值去理解. 探 究 (1) 在画图过程中，你还发现了指数函数的其他性质吗 (2) 函数 y＝2x与 y＝()x的图象有怎样的关系 你能得到更般的结论吗 例 1 比较下列各组数中两个数的大小： (1) 1.52.5，1.53.2； 解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为2.5＜3.2，所以 1.52.5＜1.53.2. (2) 0.5－1.2，0.5－1.5； 解：考察指数函数 y＝0.5x. 因为 0＜0.5＜1， 所以 y＝0.5x在 R 上是减函数. 又因为 －1.2＞－1.5， 所以 0.5－1.2＜0.5－1.5. (3) 1.50.3 ，0.81.2. 解：考察指数函数 y＝1.5x. 因为 1.5＞1， 所以 y＝1.5x在 R 上是增函数. 又因为0.3＞0，所以 1.50.3＞1.50＞1. 同理 0.81.2＜0.80＝1， 故 1.50.3 ＞ 0.81.2. 例 2 (1) 已知 3x≥30.5，求实数 的取值范围； 解：因为 3 ＞ 1. 所以 指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数， 由 3x≥30.5 可得 x≥0.5. 故的取值范围为区间 [0.5，＋∞). (2) 已知 0.2x＜25，求实数 x的取值范围. 解 因为 0＜0.2x＜1， 所以指数函数 y＝0.2x 在 R 上是减函数， 因为 25 ＝()－2 ＝ 0.2－2， 所以 0.2x ＜ 0.2－2. 由此可得 x＞－2. 故 x 的取值范围为区间(－2，＋∞). 例 3 (1) y＝2x－2； (2) y＝2x＋2. 说明下列函数的图象与指数函数 y＝2x 的图象的关系并画出它们的示意图： 解 比较函数 y＝2x与函数 y＝2x－2，y＝2x＋2的取值关系， 列表如表 6-2-2 所示. 一般地，因为函数 y＝2x－2中x＝a＋2对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x 的图象向平移2个单位长度，就得到函数 y＝2x－2 的图象. 同样地，因为函 ... ...
