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课件网) 第7章 三角函数 7 . 4 三角函数的应用 在上一节中，我们研究了y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，y＝Asin(ωx＋) 等三角函数的图象和性质，利用这些函数可以刻画一些周期现象，建立一些周期性运动的数学模型. ●怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢 我们知道，匀速圆周运动的圆周上点 P 的纵坐标为 y＝Asin(ωt＋) (其中，A 表示圆的半径， ω表示圆周转动的角速度，表示点 P 的初始位置所对应的角). 当物体做简谐运动(单摆、弹振子等)时，也是一种周期运动. 图 7-4-1 是单摆的示意图，点 O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点 C 时，摆球的位移 y 达到最大值A； 当摆球到达点 O 时，摆球的位移 y 为O； 当摆球到达点 D时，摆球的位移 y 达到反向最大值－A； 当摆球再次到达点O时，摆球的位移 y又为0； 当摆球再次到达点C时，摆球的位移 y 又一次达到最大值A. 这样周而复始，形成周期变化，其运动规律可以用三角函数表达为 y＝Asin(ωt＋). 其中， x 表示时间，y 表示相对于平衡位置的偏离； A 表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； 往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期； 单位时间内往复运动的次数 f＝＝ 称为运动的频率； ωx＋称为相位，x＝0 时的相位称为初相位. 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A、ω、φ 的物理意义 (1) A、ω、φ 的物理意义： ①简谐运动的振幅就是_____； ②简谐运动的周期 T＝_____； A ③简谐运动的频率f＝＝_____； ④_____称为相位； ⑤ x＝0 时的相位_____称为初相位. ωx＋φ φ (2)本质： A、ω、φ 有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分. (3)应用： 根据 A、ω、φ 的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式. 【思考】 在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b (A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系 提示：A，b与函数的最大值 ymax，最小值 ymin，关系如下： (1) ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2) A＝ ， b＝ . 二、解三角函数应用题的基本步骤 (1) 审清题意； (2) 搜集整理数据，建立数学模型； (3) 讨论变量关系，求解数学模型； (4) 检验，作出结论. 例 1 在图 7-4-2 中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置取向右的方向为物体位移的正方向. 已知振幅为3 cm，周期为3 s，物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. 求： (1) 物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s) 之间的函数关系； (2) 该物体在 t＝5s 时的位置. (1) 物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s) 之间的函数关系； 解 设x和t之间的函数关系为 x＝3sin(ωt＋ )(ω＞0，0≤ ＜2π). 则由 T＝＝3，可得 ω＝. 当t＝0时，有x＝3sin ＝3，即 sin ＝1. 又0≤ ≤2π，可得 ＝. 因此所求函数关系为 x＝3sin(t＋)，即x＝3cos t. (2) 该物体在 t＝5s 时的位置. 解 令 t＝5，得 x＝3cos＝－1.5， 故该物体在 t＝5 s 时的位置是在 O点的左侧且距 O 点 1.5 cm 处. 例 2 一半径为 3m 的水轮如图 7-4-3 所示，水轮圆心 O距离水面 2 m，已知水轮每分钟逆时针转动 4 圈，且当水轮上点 P 从水中浮现时 (图中点 P 开始计算时间. (1) 将点 P到水面的距离 z (单位：m. 在水面下，则2 为 负数) 表示为时间 t (单位：s)的函数； (2) 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间 (1) 将点 P到水面的距离 z (单位：m. 在水 面下，则2 为负数) 表示为时间 t (单 位：s)的函数； 解 如图 7-4-3，建立平面直角坐标系. 设角(－＜＜0)是以 Ox 为始边，OP0为终边的角. 由OP在 t s 内所转过的角为()t ＝ t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为 t＋， 故 P 点纵坐标为 3sin(t＋)，则 z＝3sin(t＋)＋2. ... ...
