西安市长安区2023-2024学年高三上学期期中教学质量检测 数学（理科） 试题时间：100分钟 总分：150分 一 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.体育老师为测试学生的身体素质，在体育课上收集了10位同学的铅球成绩，数据如下（单位：）：，则下列结论错误的个数是（ ） ①平均数为9.48；②中位数为9.45；③极差为0.55. A.3 B.2 C.1 D.0 3.已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4.折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，设向量，若，则实数的值为（ ） A.14 B.7 C.3 D.1 5.已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.甲 乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一 第二 第三局比赛中获胜的概率分别为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 7.已知满足约束条件，则的最大值是（ ） A.0 B.6 C. D.7 8.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ） A. B. C. D. 9.已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 10.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A.2 B. C.4 D.5 11.设，将的图像向右平移个单位，得到的图像，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12.已知实数满足：，则（ ） A. B. C. D. 二 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知，则_____. 14.等差数列中的是函数的极值点，则_____. 15.已知在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_____. 16.若存在，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为_____. 三 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤） 17.（12分）在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求的面积. 18.（12分）如图，三棱锥中，，为的中点. （1）证明：； （2）点满足，求二面角的正弦值. 19.（12分）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽样试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下表： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）. 附：经验回归方程系数：； 参考数据：（其中）. 20.（12分）已知椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为的三角形，且点在上. （1）求椭圆的方程； （2）如图，设是椭圆的左 右焦点，椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，求这个平行四边形的面积的取值范围. 21.（12分）已知函数. （1）设，求的单调区间； （2）求证：存在恰有2个切点的曲线的切线. 请考生在第22，23题中任选一题作答，每题10分，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22.（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （ ... ...
