山西省朔州市第九中学高中部2023-2024学年 高三上学期期中数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 已知，，，则的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 2. 赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为（ ） A 4 B. 5 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数二倍角公式求得，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边长，即可得大正方形的边长，可求得面积. 【详解】因为，所以 由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为, 所以，解得，所以大正方形的边长为， 故大正方形的面积为. 故选：D. 3. 设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为或 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，先根据题目条件得到，从而，，AB错误；C选项，由得到C错误；D选项，得到当时，，，当时，，故D正确. 【详解】AB选项，因为，所以， 因为数列是以为公差的等差数列，所以， 故，解得， 又，所以，，AB错误； C选项，，故C错误； D选项，由于，，，故当时，， 当时，，故的最大值为或，D正确. 故选：D 4. 已知函数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解对应的不等式，再根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为函数，所以由得； 由得，所以，所以． 因为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【点睛】本题主要考查判断命题的必要不充分条件，涉及对数不等式的解法，属于基础题型. 5. 已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据是偶函数求得，利用函数的单调性和奇偶性不等式等价于，解不等式 即可. 【详解】∵是偶函数 ∴，即 化简得 ∴，（，） , 时都能得到， 所以在上是增函数 ∴（，）为偶函数且在上是增函数， ∴，， 即，即或 解得或.即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题. 6. 已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把不等式化为，设，求得的导数，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解. 【详解】不等式可化为， 因为，所以， 设，则， 设，其中， 则恒成立，则在上单调递增， 由， 令，得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 对任意正数恒成立，即. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 7. 已知， ... ...
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