4.2分层随机抽样的均值与方差 分层练习（原卷版+解析版）

4.2《分层随机抽样的均值与方差》分层练习 考查题型一 分层随机抽样的均值和方差 1．某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（ ） A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180 【答案】B 【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解． 【详解】由题意甲的平均值为，方差为， 乙的平均值是，方差为， 则总体平均值为， 方差为． 故选：B． （多选题）2．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据平均数、方差公式计算可得. 【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为， 该单位全体人员体重的平均数为：， 所以该单位全体人员体重的方差为：． 故选：AD （多选题）3．某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ） A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56 【答案】BC 【分析】利用平均数公式和总体方差与部分方差的公式进行求解. 【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为 ，A错误，B正确； CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为 ， C正确，D错误. 故选：BC 4．（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定. （2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差. 【答案】（1）甲同学的平均分为13，方差为4；乙同学的平均分为13，方差为；乙同学的成绩较稳定； （2）29.2 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，结合方差的意义进行分析判断； （2）将总体平均分代入总体方差公式即可求得总方差. 【详解】（1）设甲同学的平均分为，方差为；乙同学的平均分为，方差为； ， ， ， ， 因为， 所以乙同学的成绩较稳定. （2）由题意，样本平均数为， 所以样本方差为：. 5．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差. （参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则） 【答案】(1)60；40；(2)平均数为，16． 【分析】（1）根据样本与总体可确定抽样比，根据抽样比可确定抽取男生60人，女生40人； （2）利用公式求抽取的总样本的平均数和方差，从而估计总体的方差. 【详解】（1）设在男生 女生中分别抽取m名和n名，则， 解得． （2）记抽取的总样本的平均数为，可得， ... ...