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课件网) 函数的极值与最大（小）值(2) 课堂引入 回顾 如何求函数的极值？ 课堂引入 一般地，我们可以通过如下步骤求函数y=f(x)的极值： 第１步，确定函数的定义域； 第２步，求出导数f′(x)的零点； 第３步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性，进而求出函数的极值. 课堂引入 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质． 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大（小）的值． 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小． 探究新知 问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？ 探究新知 问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)=M． 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）. 探究新知 问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1) x∈I，都有f(x)≥m； (2) x0∈I，使得f(x0)=m． 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值（maximum value）. 探究新知 问题1 函数的最大值与最小值的定义是什么？ 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值． 探究新知 问题2 下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 探究新知 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值， f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值． 探究新知 问题3 进一步，你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？ 探究新知 从图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的 最小值是f(x3)，最大值是f(a)． 探究新知 追问 在下面两幅图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、 最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 探究新知 结论 一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 探究新知 问题4 最大（小）值与极值有什么区别和联系？ 最大（小）值与极值的区别是： 1.极值是函数的局部性质，最大（小）值是函数的整体性质； 探究新知 2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的； 探究新知 3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 探究新知 4.函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最大（小）值可以在端点取到. 探究新知 最大（小）值与极值的联系是： 最大（小）值有时是函数的极值. 探究新知 问题5 如何求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值呢？ 探究新知 把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值． 知识应用 例 求函数 f(x)=x3 4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值. 分析:将函数的极值与区间端点处的函数值 f(0)，f(3)进行比较. 知识应用 例 求函数 f(x)=x3 4x+4在区间[0，3]上的最大值与最小值. 解: 函数定义域为( ∞，+∞). 因为 f(x)=x3 4x+4，所以f′(x)=x2 4=(x+2)(x 2). 令 f′(x)=0，解得x= 2或x=2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示 知识应用 x ( ∞， 2) 2 ( 2，2) 2 (2，+∞) f′(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当x= 2时，f(x)有极大值，并且极大值为f( 2)=. 当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)= . 知识应用 又由于f(0)=4，f(3)=1， 所 ... ...
