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课件网) 6.1 空间向量及其运算 6.1.2 空间向量的数量积 【课标要求】1.掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律.2.了解向量 在向量 上 的投影向量的含义,了解空间向量数量积的几何意义.3.了解向量 在平面 上的投影 向量的含义,会确定一个向量在一个平面上的投影向量. 1 要点深化·核心知识提炼 2 题型分析·能力素养提升 01 要点深化·核心知识提炼 知识点1. 空间向量的夹角 定义 范围 特殊 夹角 知识点2. 空间向量的数量积 1.定义 设 , 是空间两个非零向量,我们把数量 , 叫作向量 , 的数量积,记 作 .规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的运算律 交换律 分配律 结合律 3.数量积的性质 两个向量数量 积的性质 名师点睛 1.向量 , 的数量积记为 ,而不能表示为 或 . 2.两个向量的数量积为实数,而不是向量,其符号由夹角 的余弦值的符号决定. 3.数量积运算不满足消去律与结合律. 知识点3. 空间向量的投影向量 1.向量 在向量 上的投影向量 （1）定义：对于空间任意两个非零向量 , ,设向量 , （如图）,过 点 作 ,垂足为 ,上述由向量 得到向量 的变换称为向量 向向量 投 影,向量 称为向量 在向量 上的投影向量. （2）意义： ,即向量 , 的数量积就是向量 在向量 上的投影向 量与向量 的数量积. 2.向量 在平面 上的投影向量 （1）定义：如图,设向量 ,过 , 分别作平面 的垂线,垂足分别为 , ,得向量 .上述由向量 得到向量 的变换称为向量 向平面 投影,向量 称为向量 在平面 上的投影向量. （2）意义：对于平面 内的任一向量 ,有 ,即空间向量 , 的 数量积就是向量 在平面 上的投影向量与向量 的数量积. 02 题型分析·能力素养提升 【题型一】空间向量数量积的运算 例1 如图，已知三棱锥 的各个侧面都是等边三角形,且边 长为2, , , 分别为 , , 的中点.试求: （1） ; 解 , . （2） ; 解 , . （3） ; 解 . （4） . 解 . 跟踪训练1 如图,已知四面体 的所有棱长都等于 , , , 分别是棱 , , 的中点.求： 解 四面体 的所有棱长都等于 , 任意两条棱所在直线的夹角都为 . , , 分别是棱 , , 的中点, , , . （1） ； 解 ； （2） ； 解 ； （3） ； 解 ； （4） ； 解 , 直线 与直线 所成角就是直线 与直线 所 成角, 又 , ； （5） ； 解 ,则直线 与直线 所成角就是直线 与直线 所成角, ； （6） . 解 如图,取 的中点 ,连接 , , 则 , . , 平面 , 又 平面 , . , , 又 , ,即 , . 【题型二】利用数量积求夹角、距离问题 例2 如图,在正方体 中,求向量 与 的夹角的大小. 解 （方法一）因为 ,所以 即为向量 与 的夹角. 因为 为等边三角形,所以 ,即 , .所以向量 与 的夹 角为 . （方法二）设正方体的棱长为1, 则 . 又 , , 所以 , . 因为 , , 所以 , , 所以向量 与 的夹角为 . 跟踪训练2 如图,在直三棱柱 （即 平面 ）中, , ,则异面直线 与 所成的角是 ( ) C A. B. C. D. [解析] 平面 , , 平面 , , . , , . 又 , 为 的中点, . , . , , , 异面直线 与 所成的角是 . 例3 如图所示,在平行四边形 中, , ,沿着它的对角线 将 折起,使 与 成 角,求此 时 , 间的距离. 解 , , 同理可得 . 与 成 角, , 或 , . 又 , , , 当 , 时, ,此时 , 间的距离为2; 当 , 时, ,此时 , 间的距离为 . 跟踪训练3 在平行六面体 中, , , , , ,求 的长. 解 因为 , 所以 . 因为 , , 所以 . 因为 , 所以 , 则 ,即 . 【题型三】利用数量积证明垂直问题 例4 如图,在正方体 中, 是 的中点, 是底面 的中心.求 证: 平面 . 证明 取 , , ,设 , 则 , , , , , ,即 . , , ,即 . 又 , , 平面 , 平面 . 规律方法 利用数量积证明垂直问题的一般方法 将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向 量,再 ... ...
