午练1 空间向量的线性运算 1.(2023徐州检测)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=( ) A. B. C. D. 2.(2023武汉月考)设有四边形ABCD,O为空间中任意一点,且,则四边形ABCD是( ) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 3.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( ) A.P∈AB B.P AB C.点P可能在直线AB上 D.以上都不对 4.(多选题)如图,E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中点,下列选项正确的有( ) A. B. C.=0 D. 5.(多选题)在四面体ABCD中,E是棱BC的中点,且=x+y+z,则下列结论不正确的有( ) A.x+y+x=1 B.xyz= C.x=y+z D.x2=y2+z2 6.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,+m,则m的值为 . 7.设a,b是空间中两个不共线的向量,已知=9a+mb,=-2a-b,=a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m= . 8.如图,E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中点.化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1); (2). 9.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',E,F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心,求下列各式中x,y的值: (1)=x(); (2)+x+y. 午练1 空间向量的线性运算 1.A +-=-=+=.故选A. 2.A ∵+=+,∴=, ∴∥且||=||, ∴四边形ABCD为平行四边形. 3.A 因为m+n=1,所以m=1-n, 所以=(1-n)+n, 即-=n(-), 即=n,所以与共线. 又,有公共起点A, 所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB. 4.AB -=+=,因此A选项正确;-+=+=,因此B选项正确;-+=-=≠0,因此C选项不正确;+=-=≠,因此D选项不正确.故选AB. 5.ABD ∵=+=+(+), ∴x=1,y=z=,则x=y+z,故A,B,D错误,C正确.故选ABD. 6.1 =++=++,所以m=1. 7.-3 因为=-2a-b,=a-2b, 所以=+=-=-2a-b-(a-2b)=-3a+b. 因为A,B,D三点共线, 所以存在实数λ,使得=λ, 即9a+mb=λ(-3a+b),所以 解得m=λ=-3. 8.解 (1)++=++=. (2)-+=-+=+=. 9.解 (1)=++=++,所以x=1. (2)=(+)=+=+(++)=++, 所以x=y=.午练2 空间向量的数量积 1.已知a,b均为空间单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于( ) A. B. C. D.4 2.(2023合肥检测)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos
=( ) A. B. C.- D. 3.如图,在正四面体P-ABC中,棱长为1,且D为棱AB的中点,则的值为( ) A.- B.- C.- D. 4.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5.(多选题)设a,b为空间中的任意两个非零向量,下列各式正确的有( ) A.a2=|a|2 B. C.(a·b)2=a2·b2 D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 6.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,体对角线AC1与BD1相交于点О,则( ) A.=1 B. C. D.=1 7.在正四面体ABCD中,|AB|=2,若=2,则= . 8.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量等于 . 9.(人A教材题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求: (1); (2)AC'的长(精确到0.1). 10.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明. 午练2 空间向量的数量积 1.C |a+3b|===.故选C. 2.D 因为a+b+c=0,所以c=-a-b,则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2,即4+2|a|·|b|cos+9=16,从而12cos=3,解得cos=.故选D. 3.D 如图,因为D为棱AB的中点,所以=(+),·=(+)·=(·+·).由题意,知与的夹角为60°,与的夹角也为60°,||=||=||=1,所以·=·=1×1×cos60°=,故·=×=.故选D. 4.B 四棱锥P-ABCD如图所示, ∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.又PD⊥底面ABCD,AD 底面ABCD,∴PD⊥AD.过向量的始点B作直线AD的垂线,垂足为A,过向量的终点P作直线AD的垂线,垂足为D,在向量上 ... ... 