2024华东师大版数学八年级下学期--专项素养综合全练(七)平行四边形中的模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024华东师大版数学八年级下学期 第19章　矩形、菱形与正方形 专项素养综合全练(七)平行四边形中的模型 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　平行四边形+内角平分线→等腰三角形 模型分析 如图,在 ABCD中,若BE平分∠ABC交AD于点E,则AB=AE,即△ABE为等腰三角形. 1.(2021江苏扬州中考)如图,在 ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED,若∠EBC=30°,BE=10,则 ABCD的面积为　　　　. 类型二　正方形中的十字模型 模型分析 2.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的点,且CE=DF,连结AE,BF,AF,M为AE,BF的交点,已知△AMF的面积为24,求阴影部分的面积和. 类型三　正方形中的半角模型 模型分析 在正方形ABCD中,∠EAF=45°. 辅助线作法:将△ADF绕点A顺时针旋转到AD与AB重合的位置. 结论:△AEF≌△AEG,△AGF为等腰直角三角形,EF=EG=BE+DF. 3.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,分别连结EF、BD,BD与AF、AE分别相交于点M、N. (1)求证:EF=BE+DF.为了证明“EF=BE+DF”,小明延长CB至点G,使BG=DF,连结AG,请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程; (2)若正方形ABCD的边长为6,BE=2,求DF的长. 答案全解全析 1.答案　50 解析　过点E作EF⊥BC,垂足为F,如图, ∵∠EBC=30°,BE=10,∴EF=BE=5, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE, ∵EC平分∠BED,∴∠BEC=∠DEC, ∴∠BCE=∠BEC,∴BC=BE=10, ∴平行四边形ABCD的面积=BC·EF=10×5=50. 2.解析　∵四边形ABCD为正方形,CE=DF, ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°, ∴BE=CF. 在△ABE和△BCF中, ∴△ABE≌△BCF(S.A.S.), ∴S△ABE=S△BCF, ∵S△ABF=S正方形ABCD,∴S△ADF+S△BCF=S正方形ABCD, ∴S△ABE+S△ADF=S正方形ABCD=S△ABF, ∴阴影部分的面积和为S△ABE+S△ADF-S△ABM=S△ABF-S△ABM=S△AMF=24. 3.解析　(1)证明:画出辅助线如图, ∵四边形ABCD为正方形, ∴AB=AD,∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°, 在△ABG和△ADF中, ∴△ABG≌△ADF(S.A.S.), ∴∠DAF=∠BAG,AF=AG, ∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF, 在△AEF和△AEG中, ∴△AEF≌△AEG(S.A.S.),∴EF=EG, ∵EG=BE+BG,∴EF=BE+DF. (2)∵BC=6,BE=2,∴EC=4, 由(1)得EF=BE+DF=2+DF, 在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2, ∴(2+DF)2=42+(6-DF)2,解得DF=3. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)