2023-2024学年北京育英学校高二（下）期中数学（含解析）

2023北京育英学校高二（下）期中 数 学 一、选择题。（每小题4分，共40分） 1．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，0≤x≤1}，集合B＝{（x，y）|y＝2x，0≤x≤10}，则集合A∩B＝（　　） A．{1，2} B．{x|0≤x≤1} C．{（1，2）} D． 2．已知等差数列{an}满足a1＝2，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，则d＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．设a＝log25，b＝log35，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b 4．已知O是正方形ABCD的中心．若＝，其中λ，μ∈R，则＝（　　） A． B．﹣2 C． D． 5．设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（　　） A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85 7．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．命题“ x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，+∞） D．（﹣3，1） 9．对数列{an}，记前n项和为Sn（n∈N*）．下列四个结论中一定成立的是（　　） A．若Sn＝an2+bn+c（a，b，c是常数），则{an}是等差数列 B．若an+1＝an（n∈N*），则{an}既是等差数列又是等比数列 C．若Sn＝1﹣（﹣1）n，则{an}是等比数列 D．若{an}是等比数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，（m∈N*）也成等比数列 10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的余弦（　　） A． B． C． D． 二、填空题。（每小题5分，共25分） 11．（5分）复数i（1+i）的实部为 　 　． 12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为　 　． 13．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n+1，求{an}的通项公式 　 　． 14．（5分）设函数 ①若a＝0，则f（x）的最大值为　 　； ②若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，则b的取值范围是　 　． 15．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°； 其中正确的是 　 　．（填写所有正确结论的编号） 三、简答题。（共85分） 16．（13分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求二面角P﹣CD﹣B的大小； （3）求点C到平面PBD的距离． 17．（13分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）已知x1，x2是函数y＝f（x）﹣的两个零点，求|x1﹣x2|的最小值． 18．（14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示． （Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率； （Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X） ... ...