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课件网) *10.3 复数的三角形式及其运算 新授课 1. 了解复数的三角形式及辐角与辐角主值的概念； 2. 能进行复数三角形式与代数形式的互化； 3. 了解复数乘除运算的三角形式及其几何意义. 复数 z = a + bi 一一对应 一一对应 复平面内的点 Z (a，b) 平面向量 一一对应 a b Z：a + bi O y x 回顾：复数的几何意义是什么？ 知识点 1：复数的三角形式 如图，若非零复数 z = a + bi (a，b∈R) 在复平面内对应点 Z (a，b)， 且 r 为向量 OZ 的模，θ 是以 x 轴正半轴为始边、射线 OZ 为终边的一个角， 则 r = |z| = . 根据余弦、正弦的定义可知 cos θ = ，sin θ = ， 因此 a = rcos θ，b = rsin θ， 从而 z = a + bi = (rcos θ) + (rsin θ)i = r(cos θ + isin θ). a b Z O y x r θ rsin θ rcos θ 思考：当点在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？ z = a + bi = r (cos θ + isin θ) r = |z| = cos θ = sin θ = 复数的三角形式 一般地，任何一个复数 z = a + bi (a，b∈R) 都可以表示成 概念生成 任何一个非零复数 z 的辐角都有无穷多个，且任意两个辐角之间都相差 2π 的整数倍. 其中在 [0，2π) 内的辐角称为 z 的辐角主值，记作 arg z. 代数形式 三角形式 辐角 复数的模 例 1：把下列复数的代数形式改写成三角形式. （1）1 – i ； （2）2i； （3）–1. 解：z = a + bi = r (cos θ + isin θ)，r = ，cos θ = ，sin θ = ； （1）1 – i = [ – i] = ( – i) = (cos + isin )； （2）因为 2i 在复平面内所对应的点在 y 轴正半轴上， 所以易知 |2i| = 2，arg(2i) = ，从而可知 2i = 2(cos + isin )； （3）因为 –1 在复平面内所对应的点在 x 轴负半轴上， 所以易知 |–1| = 1，arg(–1) = π，从而可知 –1 = cos π + isin π. 典例剖析 归纳总结 把复数 z = a + bi 的代数形式转化成三角形式的基本步骤： ① 求复数的模：|z| = r = ； ② 求复数的辐角主值 arg z：cos θ = ，sin θ = ； ③ 写出复数的三角形式：z = r (cos θ + isin θ). 知识点 2：复数三角形式的乘除法 问题 1：z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)，z2 = r2(cos θ2 + isin θ2)，试求出 z1z2. 即 问题 2：如何用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式？ 模相乘，辐角相加：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数乘法的几何意义 概念生成 把向量 绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2， 两个复数 z1，z2 相乘时， 再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量 表示的复数就是积 z1z2． (如果 θ2 < 0，就要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角 |θ2|) 作出与复数 z1，z2 对应的向量 问题 3：如何解释 i2 = – 1 和 (– 1)2 = 1 的几何意义？ 所以 i2 = –1可以改写为 几何意义：将 i 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 得到 –1 对应的向量； (–1)2 = 1可以改写为 因为 ， 几何意义：将 –1 对应的向量绕点 O 按逆时针旋转 π，得到 1 对应的向量. 归纳总结 [r(cos θ + isin θ)]n = rn[cos (nθ) + isin (nθ)] 两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可推广到有限个复数的三角形式相乘. 特别地，如果 n∈N，则 问题 4：复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，如何推导出复数除法运算的三角表示？ 所以根据复数除法的定义，有 因为 设 ，且 z1 ≠ z2. = [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)] 模数相除，辐角相减： 两个复数相除，商的模等于被除数模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. = [cos (θ1 – θ2) + isin (θ1 – θ2)] 归纳总结 复数除法的几何意义 概念生成 把向量 绕点 O 按顺时针方向旋转 ... ...
