第3章 复数 章末检测（含解析）

第3章 复数 章末检测 一、单选题 1．若复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 3．下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）； （2）； （3）； （4） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 5．欧拉公式（i为虚数单位）将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．当时， .根据欧拉公式可知，对应的点在复平面内位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 8．（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的有（ ） A．已知复数的共轭复数为，则一定是实数 B．若为向量，则 C．若为复数，则 D．若为向量，且，则 10．已知复数，则下列选项正确的是（ ） A．z的虚部为1 B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限 11．已知为虚数单位，复数，，，则（ ） A． B．与互为共轭复数 C．为纯虚数 D． 12．（多选题）关于复数，，下列说法中正确的有（ ） A． B．复数是由顺时针旋转得到的 C．复数和的夹角为 D．复数是由逆时针旋转，再拉伸为原来的倍得到的 三、填空题 13．若复数（，为虚数单位），且，则的最小值为 ． 14．当实数 时，复数为纯虚数. 15．已知复数是纯虚数，则实数 . 16．已知复数，则 ． 四、解答题 17．（1）化简 ； （2）已知复数的，求 . 18．化简：． 19．（1）已知，，求证：； （2）求函数的最小值． 20．在的外部，分别以，为斜边作等腰直角三角形，，若F为的中点，求证：，. 参考答案： 1．B 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据其对应的点所在象限列出不等式组，即可求得答案. 【详解】因为复数， 其在复平面内对应的点位于第四象限，所以,解得， 所以实数a的取值范围为， 故选：B． 2．C 【分析】首先化简复数，再求复数的虚部. 【详解】由条件可知，，所以的虚部为1. 故选：C 3．C 【分析】根据复数的定义和复数模长的计算公式判断即可. 【详解】复数不能比大小，故（1）错； ，故（2）对； ，，故（3）错； ，，故（4）对； 故选：C. 4．C 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解. 【详解】，∴，∴的虚部为1， 故选:C． 5．C 【分析】根据题意带入然后分析实部虚部的正负，判断所在象限即可； 【详解】解析：因为，所以 ，所以， 故对应的点在复平面中位于第三象限． 故选：C. 6．D 【分析】由已知，根据题意给出的复数，先写出其共轭复数，然后再计算，然后将计算的结果带入中，得到复平面内对应的点坐标，即可完成判断. 【详解】由已知， ，所以， 所以, 在复平面内对应的点为 位于第四象限， 故选：D. 7．B 【分析】根据复数的乘除法计算，即可得答案 【详解】由得， 故选：B 8．D 【分析】利用复数的乘法运算求解. 【详解】解：. 故选：D 9．ACD 【分析】由共轭复数的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据复数模的性质判断C，根据数量积的运算律判断D. 【详解】对于A，设， 则， 故，故A正确； 对于B，、为向量，设夹角为，则，故B错误； 对于C，设， ， ， ， 所以，故C正确； 对于，、为向量，且， 则，即，故D正确． 故选：ACD． 10．AC 【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可. 【详解】， 则z的虚部为1，选项A正确； ，选项B错误； 为纯虚数，选项C正确； 在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误； 故选：AC． 11．AC 【分析】根据给定条件，求复数的模判断A；利用共轭复数的意义判 ... ...