课件编号18792680

(人教A版2019选择性必修一)专题3-5 直线与椭圆的位置关系 学案 重难点题型精讲(原卷+解析卷)

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中学案 查看:36次 大小:831001Byte 来源:二一课件通
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    专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲 1.点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系: (2)对于点与椭圆的位置关系,有如下结论: 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系: >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 3.弦长问题 (1)定义:直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式:设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于,两点, 则或. 4.“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 设,,代入椭圆方程+=1 (a>b>0), 得, ①-②可得+=0, 设线段AB的中点为,当时,有+=0. 因为为弦AB的中点,从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系,这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦,当弦AB所在直线的斜率存在时,弦AB的中点M的坐标 为,则弦AB所在直线的斜率为,即. 5.椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路: (1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可建立目标函数,将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法,应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围,但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 判断直线与椭圆的位置关系】 【方法点拨】 结合具体条件,根据直线与椭圆的三种位置关系,进行判断,即可得解. 【例1】1.(2022·全国·高二课时练习)已知,则直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能 【解题思路】结合题意得直线过定点,再结合点在椭圆内部即可判断. 【解答过程】解:因为,所以直线可化为, 所以,直线过定点, 因为点在椭圆内部, 所以,直线与椭圆的位置关系是相交. 故选:A. 【变式1-1】(2022·全国·高二课时练习)直线与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【解题思路】根据直线恒过,且在椭圆内可直接得到结论. 【解答过程】,在椭圆内, 恒过点,直线与椭圆相交. 故选:A. 【变式1-2】(2022·全国·高二课时练习)直线与椭圆有且只有一个交点,则的值是( ) A. B. C. D. 【解题思路】直线和椭圆只有一个交点,则直线和椭圆相切,联立直线和椭圆方程得到二次方程,二次方程只有一个解,根据=0即可求出k的值﹒ 【解答过程】由得,, 由题意知,解得, 故选:C. 【变式1-3】(2022·全国·高二课时练习)若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为( ) A. B. C. D.或2 【解题思路】根据直线与圆没有交点可得m2+n2<4,即可判断点(m,n)在椭圆的内部,即可得出结论. 【解答过程】∵ 直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点, ∴,∴ m2+n2<4,∴, ∴ 点(m,n)在椭圆的内部, ∴过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为2个. 故选:C. 【题型2 弦长问题】 【方法点拨】 ①解决弦长问题,一般运用弦长公式.而 ... ...

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