（人教A版2019选择性必修一）专题3-5 直线与椭圆的位置关系 学案 重难点题型精讲（原卷+解析卷）

专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 3．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 4．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 5．椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 判断直线与椭圆的位置关系】 【方法点拨】 结合具体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解. 【例1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 【解题思路】结合题意得直线过定点，再结合点在椭圆内部即可判断. 【解答过程】解：因为，所以直线可化为， 所以，直线过定点， 因为点在椭圆内部， 所以，直线与椭圆的位置关系是相交. 故选：A. 【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解题思路】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论. 【解答过程】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是( ) A． B． C． D． 【解题思路】直线和椭圆只有一个交点，则直线和椭圆相切，联立直线和椭圆方程得到二次方程，二次方程只有一个解，根据＝0即可求出k的值﹒ 【解答过程】由得，， 由题意知，解得， 故选：C． 【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为（ ） A． B． C． D．或2 【解题思路】根据直线与圆没有交点可得m2＋n2<4，即可判断点(m，n)在椭圆的内部，即可得出结论. 【解答过程】∵ 直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点， ∴，∴ m2＋n2<4，∴， ∴ 点(m，n)在椭圆的内部， ∴过点(m，n)的直线与椭圆的交点个数为2个． 故选：C. 【题型2 弦长问题】 【方法点拨】 ①解决弦长问题，一般运用弦长公式.而 ... ...