第02讲平面向量的运算 寒假预科讲义（人教A版2019必修第一册）（含解析）

第02讲 平面向量的运算-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册） ·模块一 平面向量的线性运算 ·模块二 向量的数量积 ·模块三 课后作业 1．向量的加法运算 （1）向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 向量加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，，在平面内任取一点Ａ． 作法 作，连接ＡＣ． 结论 向量叫做与的和，记作，即． 图形 向量加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，，在平面内任取一点Ｏ． 作法 作，以ＯＡ，ＯＢ为邻边作四边形ＯＡＣＢ． 结论 以Ｏ为起点的向量就是向量与的和，即． 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定． （2）多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示． 2．向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：． 3．向量的减法运算 （1）相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作．零向量的相反向量仍是零向量． （2）向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即－＝＋（－）．求两个向量差的运算叫做向量的减法． （3）向量减法的三角形法则 如图，已知向量，，在平面内任取一点Ｏ，作＝，＝，则＝－＝－．即－可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义．　 4．向量的数乘运算 （1）向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当＞0时，的方向与的方向相同；当＜0时，的方向与的方向相反． （2）向量的数乘的运算律 设，为实数，那么①（）＝（）；②（＋）＝＋；③　（＋）＝＋．特别地，我们有（－）＝－（）＝（－），（－）＝－． （3）向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量，，以及任意实数，，，恒有（）＝． 5．向量共线定理 （1）向量共线定理 向量（≠0）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使＝． （2）向量共线定理的应用———求参 一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设＝（≠0），化成关于，的方程（）＝－（），由于，不共线，则解方程组即可． 【考点1　　向量的加减运算】 （2023下·广西钦州·高一统考期末） 1．已知四边形是平行四边形，则（ ） A． B． C． D． （2023上·广西南宁·高二校考开学考试） 2．下列各式中，化简后不是零向量的是（ ） A． B． C． D． （2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习） 3．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ） A．1 B． C． D．-1 （2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末） 4．如图所示，在中，，则（ ） A． B． C． D． 【考点2　　平面向量的混合运算】 （2023上·北京·高二校考阶段练习） 5．设是两两不共线的向量，且向量，，则（ ） A． B． C． D． （2022·高一课时练习） 6．在中，已知是边上一点，若，则（ ） A．2 B．１ C．-2 D．－1 （2023·全国·高一专题练习） 7．若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 （2023上·江苏苏州·高三统考开学考试） 8．在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（ ） A． B． C． D． 【考点3　　向量共线定理的应用】 （2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习） 9．已知向量不共线，，，，则（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 （2023下·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期中） 10．已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（ ） A ... ...