专题10 立体几何 学案 (原卷版+解析版)

专题10 立体几何 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2.空间点、直线之间的位置关系 直线与直线 平行 关系 图形语言 符号语言 a∥b 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 3．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线———同一平面内，有且只有一个公共点． (2)平行直线———同一平面内，没有公共点． (3)异面直线———不同在任何一个平面内，没有公共点． 4.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 5.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝ a α，b α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝ _a∥b__ 6.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝ __ _a β，b β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 重要结论: 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　 2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　 3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”． 7. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直 线面垂直)．即：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 8.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a α，a⊥β α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β.　 重要结论 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 1.平面概念 2.线线、线面、面面位置关系 3.线面、面面平行 4. 线面、面面垂直 5.线线、线面所成角 6. 二面角 7.几何体 考点一 平面概念 例1．三个平面最多把空间分成 部分. 【答案】8 【解析】当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，可以把空间分成8部分 ... ...