幂的运算中的几种思维火花 幂的运算法则，课本上学过的有： （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：. （2）积的乘方，每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ： . （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘： . （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减： . 这些法则都是在有理数运算的基础上讨论的，法则中的底数字母可以代表数字，也可以是代数式，而指数字母目前只代表正整数. 这些法则运用时还要注意几种数学思想的提炼，这样才会灵活处理各种问题. （1） 数字到字母的迁移思维 [例1] 计算 . （分析）问题还是同底数幂的乘法，只不过指数不是具体的数字，变成代数式了，我们仍然可以运用法则，指数相加时要注意合并同类项. [解] 原式==. （注）事实上我们所学的幂的运算法则中，指数都可以扩展为字母或代数式. [例2 ] 计算 . （分析）看作幂，看作乘方指数，指数相乘时，要注意有括号的作用：2=. [解] 原式==. （2） 整体思维 [例3]计算 . （分析）如果想到，这样就可以把看作一个整体，作为底数，进行同底数幂的乘法. [解] 原式==. （注）法则中的底数都可以是数字、字母、代数式，要注意观察其特点，灵活运用法则进行运算. [例4]计算 . （分析）被除式和除式分别是积的乘方，但是两个积相同，我们还是把看作一个整体，先进行同底数幂的除法，再进行积的乘方. [解] 原式=. （注）该题有两种思路，可以分别试算一下，然后再选择一种简便方法. （3） 逆向思维 [例5] 计算 . （分析）指数太大，直接乘方计算无法进行。若倒退一步，把看作，再用结合律计算，这时再倒退一步=，这样计算起来会非常简便了. [解] 原式===. （注）数字太大的计算问题，一般都会有简便方法，不要直来直去，要知道有时“退一步海阔天空”啊！ [例6] 已知 ，求的值. （分析）所求与已知相离太远, 倒退着联想=，这样已知数正好利用上. [解] ===100. （注）我们所学过的几个幂的运算法则都可以逆用，适当后退，为了更好的前进. （4） 有限到无限的递推思维 [例7 ]计算 . （分析）多个同底数幂相乘，我们还可以应用法则：底数不变，所有的指数相加. [解] 原式=. （注）法则都可以拓展应用，处理复杂问题时要注意理解选用. 幂的运算法则也可以逆用哟 学习同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及同底数幂的除法的运算法则，同学们不仅要熟练掌握这些法则进行有关的幂的运算，还要会逆用这些法则来解决一些问题. 1、 同底数幂的乘法法则的逆用 同底数幂的乘法法则为：am·an=am+n（m，n为正整数），将其逆用为am+n=am·an（m，n为正整数）. 例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值. 分析：根据同底数幂的乘法法则的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后将3m=9，3n=27代入计算即可. 解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729. 评注：根据本题的已知条件，也可以直接求出m，n的值代入计算. 二、幂的乘方法则的逆用 幂的乘方的运算法则为(am)n=amn(m,n为正整数),将其逆用为amn=(am)n(m,n为正整数). 例2 已知ab=9,求a3b-a2b的值. 分析:根据已知条件ab=9,可以逆用幂的运算法则将a3b化为(ab)3,a2b化为(ab)2,然后将ab=9代入计算. 解: a3b-a2b=(ab)3-(ab)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648. 评注:根据已知条件不易直接求到a,b的值,此时可求到逆用幂的运算法则进行变形计算. 三、积的乘方运算法则的逆用 积的乘方的运算法则为(ab)n=an·bn(n为正整数),将其逆用为(ab)n=an·bn(n为正整数). 例3 已知am=16,bm=81,求(a2b)m的值. 分析:根据已知条件不容易直接求到a,b,m的值,此时可逆用积的乘方运算法则,将(a2b)m变为a2m·bm,然后将已知条件代入求值. 解: (a2b)m=(a2)m·bm=(am)2·bm=162×81=20736. 评注:当已知条件是幂的形式,所求式子是积的乘方的形式时,可思考逆用积的乘方运算法则进行代 ... ...
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