妙解离心率问题-高中数学 学案（PDF版含解析）

妙解离心率问题 【目录】 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 考点四：椭圆与双曲线的 4a通径体 考点五：椭圆与双曲线的 4a直角体 考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 考点七：双曲线的 4a底边等腰三角形 考点八：焦点到渐近线距离为 b 考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 考点十一：渐近线平行线与面积问题 考点十二：数形结合转化长度角度 求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等． 考点要求 考题统计 考情分析 2023年新高考 I卷第 5、16题，10分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线 2023年甲卷第 9题，5分 概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难， 2022年甲卷第 10题，5分 二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规 离心率 2022年浙江卷第 16题，4分 的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手． 2021年甲卷第 5题，5分 2021年天津卷第 8题，5分 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1 1. 利用曲线的范围建立不等关系． 2 2. x 2 y 利用线段长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，P为椭圆上的任 a2 b2 2 2 意一点， PF1 ∈ a- c, + y a c ；F x1,F2为双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一 a2 b2 点， PF1 ≥ c- a． 2 y2 3. x利用角度长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 + = 1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若∠F a2 2 1 b PF θ2= θ，则椭圆离心率 e的取值范围为 sin ≤ e< 1．2 4. 利用题目不等关系建立不等关系． 5. 利用判别式建立不等关系． 6. 利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7. 利用基本不等式，建立不等关系． 2 2 1 (2023 新高考Ⅰ)设椭圆C1: x + y2= 1(a> 1)，C2: x + y2= 1的离心率分别为 e ，e2 4 1 2．若 e2= 3e1，a 则 a= ( ) A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6 3 2 2 2 ( y2023 ) x甲卷 已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆 (x- 2)2 a2 b2 + (y- 3)2= 1交于A，B两点，则 |AB| = ( ) A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 5 5 5 5 2 2 3 (2022 ) x y甲卷 椭圆C: + = 1(a> b> 0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于 y轴对称．若 a2 b2 1 直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( ) 4 A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 2 2 2 3 4 (2021 甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 60°，|PF1| = 3|PF2|，则 C的离心率为 ( ) A. 7 B. 13 C. 7 D. 13 2 2 2 2 5 (2021 天津) x y已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点与抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点重合， a2 b2 抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若 |CD| = 2|AB|，则双曲线的离心 率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 2 x2 2 (2022 ) C: + y = 1(a> b> 0) 16 甲卷 已知椭圆 的离心率为 ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B2 2 3 a b 为C的上顶点．若BA1 BA2=-1，则C的方程为 ( ) x2 + y 2 2 2 = x + y = x 2 + y 2 2 A. 1 B. 1 C. = 1 D. x + y2= 1 18 16 9 8 3 2 2 2 x2 y 7 (2022 全国)若双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的一条渐近线与直线 y= 2x+ 1垂直，则C的离 a2 b2 心率为 ( ) A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 4 2 8 (多选题) (2022 乙卷)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切 3 线与C交于M，N两点，且 cos∠F1NF2= ，则C的离心率为 ( )5 A. 5 B. 3 C. 13 D. 17 2 2 2 2 2 2 9 (2023 新高考Ⅰ)已知双曲线C: x - y = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上， a2 b2 点B在 y轴上，F1A⊥FB 21 ，F2A=- F2B，则C ... ...