极限

极限与数学归纳法 第 I 卷 一 选择题（每小题5分，共60分） 1 某个命题与正整数有关，若时该命题成立，那么可推得时该命题也成立，现已知时，该命题不成立，则可以推得（ ） A 时该命题成立 B 时该命题不成立 C 时该命题成立 D 时该命题不成立 2下面四个命题中： （1）若是等差数列，则的极限不存在； （2）已知，当时，数列的极限为1或-1。 （3）已知，则。 （4）若，则，数列的极限是0。 其中真命题个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3 如果存在，则的取值范围是（ ） A B C D 4 已知，那么数列在区间为任意小的正数）外的项有（ ） A 有限多项 B 无限多项 C 0 D 有可能有限多项也可能无限多项 5 下列数列中存在极限的是（ ） A B C D 6 （ ） A 1 B C D 2 7 （ ） A 1 B C D 8 已知，其中，则实数的取值范围是（ ） A B C D 9 在等比数列中，且前项的和为切满足，则的取值范围是（ ） A B C D 10 （ ） A 4 B 8 C D 11 已知等比数列的公比为，则有，则首项的取值范围是（ ） A B C D 已知定义在上的函数同时满足条件：①；②且 ③当时。若的反函数是，则不等式的解集为 （ ） A B C D 第 II 卷 二 填空题 13 若，则_____ 14 已知函数，若存在，则的值为_____， 15 设常数，展开式中的系数为，则_____。 16已知抛物线与轴交于点A，将线段OA的等分点从坐到右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次是 ，从而得到个直角三角形，当 时，这些三角形的面积之和的极限为_____ 三 解答题 17 已知函数在处连续，求实数的值。 18 已知是首项为1，公差为的等差数列，其前项和为；是首项为1，公为的等比数列，其前项和为，设，若， 求实数和的值。 19 已知数列的通项公式为，记。 （1）写出数列的前四项。 （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。 （3）令，求。 20 已知数列中，其前项和为，且满足。 （1）求数列的通项公式。 （2）若数列满足，为前项和，若，求实数的值。 21 若不等式对一切正整数都成立，求正整数 的最大值，并证明你的结论。 22 已知数列，与函数满足条件：。 （1）若，且存在，求实数的取值范围，并用表示。 （2）若函数为上的函数，，试证明对任意的。 参考答案 1 D 解析：由已可知，该命题满足数学归纳法定义，即存在某自然数，当时，对所有 均成立，而时，命题不成立，是针对命题不成立中的有限项，显然针对时， 命题不会成立。，故选D。 2 A 解析：若为常数列，可知（1）为假命题；而由极限存在的唯一性，可知（2）也为假命题；对于（3）满足极限定义可知是正确的；对于（4），由于与极限定义矛盾，应该趋于该数时的项，即不为0，故（4）也为假命题。故选A。 3 D 解析：当时，极限显然不存在，而时，可得为常数数列存在极限，时，为摆动数列，极限不存在，故选D。 4 B解析：由，存在自然数，当时，无限趋于，而数列在区间为任意小的正数），即所有趋于的项应该有无数多项，选B。 5 D解析：容易知道A应该为项为0和2的摆动数列，不存在极限；B为包含三个项1，0，-1循环出现的数列，不存在极限；C一定不存在极限；而D中为两个特征列，而时，故极限存在，故选D。 6 C解析： ，选C。 7 C解析： 故有，选C。 8 C解析：当时，而当时， ，故选C。 9 D解析： ，故选D。 10 C 解析：原式=，选C。 11 D 解析：由可知或，故知D符合题意。 12 C 解析：由反函数定义可知，而，故函数是上的增函数，故有也是定义域上的增函数，由可知C符合题意。 13 解析： 14 解析：， 故易得 15 解析：，由由，所以，所以为1。 16 解析： 可分别表示各个三角形的面积后再求。， ， =，故 17解析：因为在处连续，则存在，即存在且相等，存在，则中必定含有因式。即是方程的根，故有，①则， 同样存在， 则含有因式，则即 ... ...