第3章 复数 单元检测-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册（含解析）

第3章 复数 单元检测 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知为虚数单位若复数，则的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 2．若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．的虚部为（ ） A．4 B． C． D．2 4．若（i是虚数单位），则（ ） A． B．1 C． D． 5．若复数满足：，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若复数z满足（为虚数单位），则（ ） A．2 B． C．2 D．4 二、多选题 7．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 8．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A． B．若，则 C．若复数为纯虚数，则 D．若，则 三、填空题 9．若复数a为实数，复数为纯虚数，则 ，z的虚部为 ． 10．若复数z的虚部小于0，且，则 ． 11．已知是方程（为实数）的一个根 则b= ，c= . 12．阅读以下材料，判断下列命题的真假 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可.我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小” 例如，，，. ①在复平面上的复数的大小一定大于在它正下方的复数大小； ②在复平面内做一条直线，对应的点在该直线上，则的最小值为； ③复数； ④在复平面上表现为一个半圆； ⑤无法在复平面上找到满足方程的点. 其中，正确的序号为 四、解答题 13．对一般的实系数一元三次方程，由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J.Cardan）的名字命名的． 卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数x写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得，于是，方程一个根可以写成． 阅读以上材料，求解方程． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．已知复数，其中为虚数单位． (1)当时，求的取值范围（几何方法需画图并解释）； (2)若，，且，求的实部的取值范围． 16．求证： (1) (2) 参考答案： 1．B 【分析】根据复数的乘除运算法则计算即可； 【详解】 所以虚部为， 故选：B. 2．D 【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断. 【详解】∵，∴， ∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限． 故选：D． 3．B 【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案. 【详解】，则其虚部为， 故选：B. 4．C 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念得，即可求得模长. 【详解】因为，所以， 则，即． 故选：C． 5．A 【分析】根据复数的除法求得z，确定其对应的点，即可得答案. 【详解】由题意得，， 故z对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 6．D 【分析】由，已知条件中解出即可计算结果. 【详解】复数z满足，则，， ，可得. 故选：D. ... ...