陕西省咸阳市2023-2024学年高三上学期1月高考模拟检测（一）文科数学试题（PDF版含答案）

咸阳市 2024年高考模拟检测(一) 数学(文科)参考答案 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B D A D D C D A A C B B 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13 ． 14． 15 ． ， 16 + ． 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求 作答． （一）必考题：共 60分． 17.（12分) 解析:（1）由 = = + , 得： + = = + 由余弦定理得： = ∴ = …………5分 （2 ）方法一：因为 = ， = ， 由余弦定理 = + 得 = + , ∴ ≥ = 当且仅当 = 时取等，（ ） = 所以 的面积： = { } = ……………………12分 方法二： ∵ = ， = ∴ ， 由正弦定理得： = = = = ， ∴ 的面积 = = = = ( ) = ( ) + 又∵ ∈ , ，∴ ∈ （ ， ）， ∴ = 当 时，取得面积最大值为 ． ……………………12分 18.（12分） （1） 证明：在 中，因为点 、 分别是 、 的中点， ∴ // , 平面 ∴ //平面 . ………………4分 （2） 解：因为 为 中点，连接 , ⊥ ， = = = ，则 ⊥ . ∵ ⊥ 面 ， ∴ 三棱柱 为直三棱柱 ∴ ⊥ 面 ∥ 面 ， ∥ 面 所以 B到面 的距离等于 到面 的距离。 ∴ = = ， ∴ = = ………………………………………..12分 19.（12分）解：(Ⅰ) = ， = ， = = = . = . ≈ . > . ， = . . = ∴ 与 线性相关性很强. …………………………5分 ( ) = = × . + × . + × . + × . Ⅱ = = . ， = + + + + = = × . = . ， ∴ 关于 的线性回归方程是 = . . . 当 = 时， = . . = . （万辆） 该市 2024年新能源汽车购买辆数约 2080辆. …………………12分 20.（12分） 解析：（1）由题可得 = ① 又 ∵ = ，即 = ，② 由①②及 = + ,可得 = ， = 所以椭圆 的方程: + = . …………………………………4分 （2） , , , ，设 , , , , , ， 由题知，过点 P作椭圆 C的两条切线斜率存在， 设过点 , 且与椭圆相切的直线方程为： = ， = ∴联立方程 + = 得 + + + = ，……6分 ∴ = + = ， 整理得 + = ， 即 + = ∵ , 在椭圆上， ∴ + = ，即 = ， = ， ∴ = ， 即 + + = + = ， ∴ + = ，解得 = （此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率） ∴过点 , 且与椭圆相切的直线方程为： = ∵ + = ，即 + = ∴ M C 整理可得以 为切点的椭圆 的切线方程为 + = ， 同理，以 N 为切点的椭圆 C的切线方程为 + = ，（上述切线方程也可以尝 试采用“构造缩放法”证明二级结论： 过椭圆 : + = ( > > )上一点 , 切线方程为： + = ） 又两切线均过点 P，故 + = ，且 + = ， 整理化简得 + = ，且 + = ， ∴点 , ， , ，均在直线 + = 上， ∴直线 MN的方程为 + = ，直线 MN过定点 , . ………………12分 21．（12分） 解析：由题可知函数的定义域为 > . ∵ = + ∴ '， = = = ,得 = . 由 , , ' 列表如下 , 1 , + ∞ ' - 0 + 极小值 ∴ = = . 无极大值 ……………………………………..5分 （2）证明：由（1）可知， ≥ + ≥ , ≥ = 即 ， ∴ + ≥ , 当 = 时，" = "成立 + , 令 = ∈ + + > + = , 则 > + + + , > + 由累加法可知 + > + + + > + + + > + 累加可得 > > + + + + + + + . > + 即 + + + . + + + ……………………………………….12分 22.解：（1）易知 C： = , : + = (2) 由（1）知 P（2,0）不妨设 m的方程为 = + = + 由 = 得 = 设 A , , 则 + =4n , = ∴ = + + = + + = ∴ +3 -4=0 + ( )=0 ∴ = 即 =± ∴ =± = + 另解：设直线的方程为 = ( 为参数) 代入 = = + = ∴ + = = ∴ + = + = = + + = ∴ = ( +1)(2 )=0 ∴ = 从而 =± ... ...