空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 空间向量与立体几何解答题专项特训2023-2024学年数学人教A版选择性必修第一册 1．如图，在三棱锥 P-ABC中，平面 PAB⊥平面ABC，AB=4，BC=2，AC=PA=PB=2，D，E分别为PC，PA的中点. （1）证明：平面 BCE⊥平面 PAB. （2）求平面 PBC与平面BDE 的夹角的余弦值. 2．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，∠ADC=90°，，E为线段AD的中点.底面ABCD，点F是棱长PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G. （1）求证：BEFG； （2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值. 3．如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2AB＝2，将△CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角P﹣CD﹣B为直二面角． （1）证明：AC⊥PD； （2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值． 4．已知在多面体中，，，，，，且平面平面. （1）设点为线段的中点，试证明平面； （2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 5．如图，在四边形ABCD中（如图1），，，，，F分别是边BD，CD上的点，将沿BC翻折，将沿EF翻折，使得点与点重合（记为点），且平面平面BCFE（如图2） （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 7．已知空间有不重合的四点． （1）若，求点的坐标； （2）若是平面的一个法向量，求和的值． 8．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为O，且，． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的大小． 9．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在的条件下，求点到平面的距离． 10．已知空间三点，，，设，． （1）求； （2）与互相垂直，求实数的值． 11．如图，在直棱柱中，，E，F分别是棱，上的动点，且. （1）证明：. （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点． （1）求证：AN⊥平面PDM； （2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值； （3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由. 13．如图， 四边形 为平行四边形， 点在上，， 且.以为折痕把折起， 使点到达点的位置， 且. （1）求证： 平面； （2）若直线 与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 14．如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 15．如下图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD，又. （1）求点到平面的距离； （2）设，，，平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为，求BC的长． 16．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，，平面，，点为中点. （1）在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由； （2）当，求平面与平面所成二面角的正弦值. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：证明：因为AB=4，BC=2，AC=2 ，所以 所以AB⊥BC. 因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以BC⊥平面PAB. 又BC 平面BCE，所以平面BCE⊥平面PAB （2）解：取 AB的中点O，连接 PO.以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 其中y轴与BC 平行，则P(0，0，4)，A(-2，0，0)，B(2，0，0)， E(-1，0，2)，C(2，2，0)，D(1，1，2) 设平面 BDE的法向量为 则 令z=3，得m=(2，-4，3). 设平面 PBC 的法向量为 则 令 ，得n=(2，0 ... ...