第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 第一课时 几何图形问题 基础过关全练 知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.【新独家原创】毕业之际,某班同学在同学录上互相签名留念,如果该班共有学生x名,一共签名1 560次.根据题意可列方程为 ( ) A.x(x+1)=1 560 B.x(x-1)=1 560 C.x(x+1)=1 560 D.x(x-1)=1 560 2.有一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为8,把它的个位上的数字与十位上的数字对调,得到一个新数,新数与原数之积为1 855,则原数是 ( ) A.35 B.53 C.62 D.35或53 3.【数学文化】(2022湖北孝感月考)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 ”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问长比宽多多少步 经过计算,长比宽多 步. 4.【数学文化】(2023江苏苏州姑苏模拟)第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5 ×80=2 021,表示ICME-14的举办年份. (1)八进制数3747换算成十进制数是 . (2)小华设计了一个n进制数234,换算成十进制数是193,求n的值. 5.有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果,已知A、B两区初始显示的内容分别是25和-16.下图是第一次按键后,A,B两区分别显示的内容. (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果. (2)从初始状态按4次后,A,B两区显示的代数式的和为1,求a的值. 知识点2 几何图形问题 6.【教材变式·P74习题T1】(2023湖北武汉青山月考)在一幅长 80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽度为 x cm(风景画四周的金色纸边宽度相同),则x的值为( ) A.10 B.8 C.7 D.5 7.(2023河北保定雄县月考)将正方形(阴影部分)按如图所示的方式向外扩大得到新的正方形,若新正方形的面积为125 cm2,则阴影部分的面积为 ( ) A.15 cm2 B.20 cm2 C.45 cm2 D.80 cm2 8.【一题多解】(2020山东济南中考)如图,在一块长15 m、宽10 m的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余部分栽种花草,要使绿化面积为126 m2,则修建的道路的宽应为 m. 9.【数形结合思想】(2022浙江丽水月考)某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠现有墙(AD位置的墙最大可用长度为27米,AB位置的墙最大可用长度为15米),另两面用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏的总长为45米.若饲养场的面积为180平方米,则饲养场(矩形ABCD)的一边AB的长为 米. 10.(2022山东德州中考)如图,某小区矩形绿地的长、宽分别为35 m、15 m.现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地. (1)若扩充后的矩形绿地面积为800 m2,求新的矩形绿地的长与宽. (2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为5∶3,求新的矩形绿地的面积. 答案全解全析 基础过关全练 1.B 根据签名总次数=学生总人数×(学生总人数-1),即可得出关于x的一元二次方程.故选B. 2.D 设原数十位上的数字为x,则个位上的数字为8-x, 根据题意,得(10x+8-x)[10(8-x)+x]=1 855, 解得x1=3,x2=5, ∴原数为35或53.故选D. 3. 答案 12 解析 设长为x步,则宽为(60-x)步,依题意,得x·(60-x)=864, 解得x1=36,x2=24,∵x>60-x,∴x>30, ... ...
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