9.5 多项式的因式分解 知识点一、因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式； （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止； （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 例： 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 知识点二、公因式 公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. （1）公因式必须是每一项中都含有的因式； （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式； （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 例 2．多项式中，各项的公因式是（ ） A． B． C． D． 知识点三、提公因式法分解因式 1. 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即. 2. 提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，； 3. 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式； 4. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“———号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号； 5. 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 例： 3．已知，，则代数式的值是（ ） A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6 知识点四、运用公式法分解因式 1. 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法； 2. 逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积. 3. 逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方. 例： 4．下列结论正确的是（ ） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2 C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．a2﹣2b2＝（a+2b）（a﹣2b） 一.选择题（共8小题） 5．下列因式分解变形正确的是（ ） A． B． C． D． 6．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（ ） A．11的倍数 B．奇数 C．偶数 D．9的倍数 7．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ） A．16 B．22 C．34 D．36 8．－的结果最接近于（ ） A． B． C． D． 9．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 10．已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ） A．2或 B．2 C．或6 D． 11．已知，则的值为（ ） A．57 B．120 C． D． 12．已知，那么的值为（ ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二.填空题（共10小题） 13．分解因式： ． 14．已知实数，满足，，则 ． 15．已知长方形的周长为12，面积为8，若长方形长为a，宽为b，则a2b+ab2＝ ． 16．已知，则 ． 17．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，），请把9表示为两个正整数的平方差的形式 ． 18．若xy=-3，x+y=5，则2x2y+2xy2= ． 19．若m2＝n+2022，n2＝m+2022（m≠n），那么代数式m3－2mn+n3的值 ． 20．若，则m — n的值为 ． 21．若，，则 ． 22．已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ． 三.解答题（共14小题） 23．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4) 24．已知 ... ...
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