(课件网) 第7章 锐角三角函数 7.5 解直角三角形（2） 第2课时 构造直角三角形解题 学习目标 1. 会解含特殊角的非直角三角形； 2. 会利用解直角三角形求解能化为直角三角形的简单多边形问题. 知识回顾 1. 什么叫解直角三角形？ 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形. 2. 直角三角形中需要知道其中的几个元素就可以确定这个直角三角形的形状和大小？对于已知的元素有限制吗？ 除直角外需要知道两个元素(其中至少有一个是边). 问题情境 如图，平顶屋面（截面为等腰三角形）的宽度为l，坡顶的高度为h， (2)若已知宽度l和坡顶的倾角α , 你能求出斜面钢条的长度和坡顶的高度 h吗？ α h l (1)你能求出斜面钢条的长度和倾角α吗？ A C B D h A B D α 对于一个一般的三角形，需要知道“三边”和“三角”中的几个元素才能确定这个三角形呢？ 讨论与交流 C B A 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AC＝8，∠B＝45°，∠A＝30°，求AB． A B C D 30° 45° 构造直角三角形 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ADC中， AD=AC cos30°=， CD=AC sin30°==4， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD＝4， ∴AB=AD+DB=+4. 例题讲解 变式1 如图，已知 AC = 8，∠A＝30°，tanB=，求 AB 的长． A B C D 30° 在Rt△CDB中， 解：如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中， ∵ tanB= ， ∴ BD= = . AD=AC cos30°=， CD=AC sin30°==4， ∴ AB=AD+DB=+. 例题讲解 变式2 如图①，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合，如图②.若相等的直角边AC的长为12 cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长(结果保留根号)． ① ② A B C D 例题讲解 解：∵在Rt△ABC中，AC＝12 cm，∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝12 cm.在Rt△ACD中，∠D＝30°，∵tanD＝，∴CD＝＝＝12 (cm)，∴BD＝CD－BC＝(12－12)cm.答：另一条直角边没有重叠部分BD的长为(12－12)cm. ① ② A B C D 例题讲解 例2 如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长 (精确到0.1). D E A B C O H 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB==72°. 过点O作OH⊥AB，垂足为H. 在Rt△AHO中， ∵∠AHO=90°，∠AOH=∠AOB=36°，OA=10， ∴AH=OA sin36°. ∴正五边形ABCDE的边长AB=2AH=2×10×sin36°≈11.8. 通过作等腰三角形的高，转化为直角三角形来解决问题． 例题讲解 D E A B C O 变式 如图，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r，则下列等式成立的是( )A.a＝2rsin36° B.a＝2rcos36° C.a＝rsin36° D.a＝2rsin72° a r H A 例3 ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，求 ABCD的面积． A B C D 6 60° 8 E 解：过点D作DE⊥AB，垂足为E. 在Rt△ADE中， ∵∠AED=90°，∠A＝60°，AD＝6， ∴DE=AD sinA=6×sin60°=. ∴S ABCD=AB×DE=8×=24. 例题讲解 新知巩固 1. 如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为 _____. B C A D 3 1 新知巩固 2. 求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）． A B O H 解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOB==45°. 过点O作OH⊥AB，垂足为H. 在Rt△AHO中， ∵∠AHO=90°，∠AOH=∠AOB=22.5°，OA=12， ∴AH=OA sin22.5°=12sin22.5°. ∴正五边形ABCDE的边长AB=2AH=2×12×sin22.5°≈9.2. C D E F G H 新知巩固 3. 如图，在菱形钢架ABCD中，AB=2m，∠BAD=72°，焊接这个钢架约需多长的钢材（精确到0.1m) 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， OA= OC，OB=OD ... ...
