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课件网) 第十一章 因式分解 复习课 一、学习目标 1.理解因式分解的概念,并能根据因式分解与整式乘法的关系解题； 2.知道因式分解的方法、步骤,并能熟练应用因式分解的各种方法 进行因式分解； 3.能利用因式分解的方法解决实际问题. 二、知识结构 因式分解 概念：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 提公因式法 方法 公式法 a2－b2＝(a＋b)(a－b) a2±2ab＋b2＝(a±b)2 公因式 整式乘法 三、知识回顾 知识点一 因式分解的概念 1.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解. 3.多项式的因式分解是一个恒等变形． 2.因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式； 注意：1.等号的左边必须是一个多项式； 2.多项式的因式分解与乘法运算是相反的变形过程． 典型例题 例1.下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) A．(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 B．2x2－8＝2(x＋2)(x－2) C．2x2－2x＋1＝2x(x－1)＋1 D．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B 解析：A项，是整式的乘法，故A不符合题意；B项，把一个多项式化成几个 整式的乘积的形式，故B符合题意；C项，没把一个多项式化成几个整式的 乘积的形式，故C不符合题意；D项，是整式的乘法，故D不符合题意． 典型例题 归纳总结： (1)因式分解的最后结果是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式； (2)因式分解与整式乘法是两个相反的过程，可以利用整式乘法检验 因式分解是否正确． 【当堂检测】 1.下列变形，是因式分解的是（ ） A. a(x+y)=ax+ay B. x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1) C. am2-a=a(m+1)(m-1) D. m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3. C 知识点二 因式分解的方法及步骤 三、知识回顾 1.提公因式法分解因式 (1)确定公因式：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项 系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，且相同字母的指数取次数 最低的． (2)把公因式写在括号外面，将多项式写成整式乘积的形式. 三、知识回顾 2.公式法分解因式 (1)因式分解中的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 平方差式的特征： ①可化为两个整式；②两项符号相反；③每一项都是整式的平方. (2)因式分解中的完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2； 完全平方式的特征：(1)可化成三项式；(2)有两项符号相同,能写成两个 整式的平方的形式；(3)另一项是这两整式乘积的±2倍. 典型例题 例2.把下列各式分解因式： (1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2； (2)a5－a； (3)3(x2－4x)2－48； (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9. 解析：(1)中(x－y)2＝(y－x)2，可直接提取公因式y－x； (2)(3)先提公因式，再用公式法分解；(4)直接用公式法进行因式分解． 典型例题 解： (1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2 ＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)． ＝a(a2＋1)(a2－1) (2)a5－a＝a(a4－1) ＝2x(y－x)． ＝(y－x)(x＋y－y＋x) ＝(y－x)[x＋y－(y－x)] ＝x(y－x)＋y(y－x)－(y－x)2 (1)x(y－x)＋y(y－x)－(x－y)2； (2)a5－a； 典型例题 (3)3(x2－4x)2－48； (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9. (3)3(x2－4x)2－48 ＝(y＋2)2(y－2)2. ＝3(x－2)2(x2－4x－4)． ＝3(x2－4x＋4)(x2－4x－4) ＝3[(x2－4x)2－16] (4)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9 ＝(y2－1)2－6(y2－1)＋9 ＝(y2－1－3)2 典型例题 归纳总结： 因式分解的步骤是： 一提(提公因式)、二用(用公式法分解)、三检查(检查分解是否彻底)． 【当堂检测】 2．分解因式： (1)a(x-y)-b(x-y)-c(y-x)= ； (2)(m-n)2-(n-m)(m-2n)= ； (3)3x3-27xy2= ； (4)3x2y+12xy2+12y3= ． (x-y)(a-b+c) (m-n)·(2m-3n) 3x(x+3y)(x-3y) 3y(x+2y)2 【当堂检测】 (1) 18xy2 - 27x2y - 3y3 (2) 4a2- 16(a - 2)2. 3.因式分解(写出步骤). 解： =-3y(3x-y)2. (2) ... ...
