7.1.1 复数的有关概念 1．理解虚数单位和复数的概念，了解复数的代数形式，理解共轭复数，初步掌握两个复数相等的条件. 2．通过问题提出引导学生理解复数的有关概念，并学会运用概念进行判断. 重点：复数的有关概念． 难点：对于虚数单位的理解． 十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数，它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具．随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论． 教学课件 （一）创设情境，生成问题 求一元二次方程的解. 我们知道，在实数集R的范围内，此方程没有解.那么，如何解决这类方程求解的问题呢？ 【设计意图】从已知知识出发，引导学生的思考，引出本课概念. （二）探究新知 1、为了使方程 有解，引进一个新数i，使i是方程的根，即i叫作虚数单位，并规定i具有如下性质. （1）i的平方等于-1，即i2=-1 ； （2）i 与实数进行四则运算时，原有的加法和乘法运算律仍然成立. 2、形如的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部. 复数一般用小写字母z，w，……表示. 当b=0时，复数a+bi是实数a；当b≠0时，复数a+bi是虚数； 当a=0，b≠0时，复数a+bi是纯虚数. 3、所有复数组成的集合，叫作复数集，用C表示，即.显然，实数集R是复数集Cr真子集，因此有 如果两个复数与的实部和虚部分别相等，那么称这两个复数相等，记作a+bi=c+di. 特别地， 共轭复数 如果两个复数的实部相等且虚部互为相反数，那么称这两个复数互为共轭复数， 复数的共轭复数为 复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z为实数 __ b＝0___，z为虚数 __ b≠0____，z为纯虚数 _____. (2)集合表示： 温馨提示 复数集C 与实数集R 有一些不同的性质. 例如，任意两个实数是可以比较大小的，而两个复数若不全是实数，则是不能比较大小的. 【设计意图】结合学生已有知识，给出新概念，构建新的知识体系.. （三）典例辨析 例1. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数. 解：显然，所以，是实数；是虚数. 例2. 指出下列复数的实部和虚部,并判断这些复数是实数还是虚数.若是虚数,判断其是否为纯虚数. （1）2；（2）3-i；（3）5i； 解：（1）复数2的实部是2,虚部是0,它是实数； （2）复数3-i的实部是3,虚部是-1,它是虚数,不是纯虚数； （3）复数5i的实部是0,虚部是5,它是虚数,而且是纯虚数. 例3. 已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y. [解析] 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i， 整理得(3x－10)＋i＝bi－3i， 由复数相等的充要条件得解得 ∴x＝，y＝4i. 例4.指出下列复数的共轭复数. （1） 1-2i ；（2） （3） 3i ；（4） 2 . 解：（1） 1-2i的共轭复数是 1+2i ； （2） 的共轭复数是； （3）3i的共轭复数是-3i ； （4）2的共轭复数是2 【设计意图】通过例题讲解让学生进一步掌握新概念.. （四）巩固练习 1. (1＋)i的实部与虚部分别是( ) A．1， B．1＋，0 C．0,1＋ D．0，(1＋)i [解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋. 2.若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_____. [解析] 由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 3. 已知复数z＝(a＋1)－(a2－1)i，若z＝0，则实数a的值为_____. [解析]∵z＝0，∴，解得a＝－1. 4. 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数运算和共轭复数的概念可得. 【详解】因为，所以. 故选：C． 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知 ... ...
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