2.5 三角计算应用举例 1．能够运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题； 2．通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实现数学建模．通过学习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养． 重点：运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题． 难点：数学建模的数学方法． 本课通过几个典型例题，将三角计算知识应用于测量与计算问题，将实际问题数学化，实现数学建模． 教学课件 （一）情境导入 已知地月距离约38万公里，中继卫星距离月球约8万公里， _2点到月球距离约为6.5万公里，根据测得的数据，试计算地面发射信号到达月球背面，月背探测器接收到信号会延迟约多长时间？ 数学作为一门学科，其实与我们的日常生活息息相关。从简单的计算到复杂的统计分析，数学的应用无处不在。我们已学习的正弦定理，余弦定理，它们在科学技术，生产实际，日常生活，航海测量等实际情况下也有着十分广泛的应用. 在利用数学知识解决实际问题的过程中，会用到数学建模的方法，思考是经历三个思维过程: 一、选择建模方法、推导模型的公式:根据情境问题的表述,对原型进行适当的抽象、简化，选择恰当的数学工具和构造模型的方法，从而构造出刻画实际问题的数学模型. 二、求解模型:根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或者选择求解模型的数学方法和算法，求解模型. 三、模型分析:依据建模的目的，对模型求解的数字结果，或者进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或者进行误差分析. 【设计意图】由中继卫星“鹊桥”引出距离问题的计算. （二）典例辨析 例1. 如图所示，设 A，B两点在河的两岸，测量者在与 A同侧的河岸边选取测点C，测得 AC的距离是 50 m，∠BAC=51°，∠ACB= 75°，求 A，B两点间的距离（精确到0.1 m) . 解: ∠， 由正弦定理可得， 所以． 【设计意图】测量距离问题 例2. 为了测量一座古塔的高，可以在地面上引一条基线，它和塔底在同一平面上，且延长后不过塔底，如图所示，现测量得 .仰角，求塔高. 解：在，， ， 即 ， 所以 . 所以 . 答：塔高. 【设计意图】测量高度问题. 例3.为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为_____ ____. 解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°， ∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB ＝()2＋()2－2··cos75°＝5． ∴AB＝(km).故A、B之间的距离为 km. 例4.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. [解析] 设所需时间为t小时，则AB＝10t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°， 整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去). 所以护航舰需要1小时靠近货船. 【设计意图】距离问题. 温馨提示 测量高度问题的解题策略 “空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. （三）巩固练习 1. 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离 ... ...
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