2.5 三角计算应用举例（分层作业）(原卷版+解析版)

2.5 三角计算应用举例 分层作业 1．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高． 【答案】 【分析】利用正弦定理以及解直角三角形来求得. 【详解】在△BCD中，，，， 由正弦定理，， ， 在中，. 2．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC 的正弦值； (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离. 【答案】(1) (2)海里 【分析】（1）利用正弦定理求∠ABC 的正弦值； （2）应用余弦定理求甲乙两船之间的距离. 【详解】（1）由题设，，，， 在△中，，则； （2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则， 由， 所以海里. 3．已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离． 【答案】 【分析】作图后由几何关系及余弦定理求解. 【详解】 由题意得，，所以， 因为，， 所以 ， 所以，， 地在地的南偏东，地距地． 4．如图，甲船以海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船南偏西方向的处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船南偏西方向的处，此时两船相距海里. (1)求； (2)求乙船的航行速度. 【答案】(1)（海里） (2)海里/小时 【分析】（1）根据题意确定为等边三角形即可求解； （2）运用余弦定理求出即可求解. 【详解】（1）如图，连结， 因为，， 所以是等边三角形， 所以（海里） （2）因为 在中，由余弦定理得： 所以（海里） 因此乙船的速度的大小为 所以乙船航行速度为海里/小时 5．如图，在倾斜角等于的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长是，求旗杆的高. 【答案】 【解析】由已知可得，运用正弦定理，即可求解. 【详解】解：由题意可知， 在中，， . 由正弦定理得，， ， 旗杆的高为. 6. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔顶沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为，再向塔前进米，又测得塔顶仰角为，则塔商多少米？ 【答案】15 【详解】试题分析：先根据题意确定CD＝AD＝30，CE＝DE＝，在△CED中应用余弦定理可求得cos2θ的值，进而可确定2θ的值，然后在△CBD中可求得BC的长度，从而确定答案 试题解析：如图，易知有两个等腰三角形，从而由余弦定理，在中可得在中， 1．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高. 【答案】 【分析】利用正弦定理求得，解直角三角形求得. 【详解】， 由正弦定理得， 在直角三角形中，，. 2．从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，，求这两个点之间的距离（精确到0.1m）． 【答案】 【分析】直接利用解直角三角形知识的应用和余弦定理的应用即可求出结果. 【详解】从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°， ,,同理, ，中， ， 由余弦定理得： . 所以两个点之间的距离为282.8m. 3．如图，长为7m的梯子BC靠在斜壁上，梯脚C与壁基A相距1.5m，梯顶B在沿着壁向上6m的地方，求壁面和地面所成的角（精确到0.1°）. 【答案】 【分析】利用余弦定理求得，利用计算器求角. 【详解】, ∴. 4．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情，在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向，已知在的正东方向千米处，问火场分别距离以及 ... ...