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课件网) 第一章 三角形的证明 1 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理 阅读课本本课时“想一想”之前的内容,思考下列问题. 1.当一条直线MN满足哪些条件时,它就是线段AB的垂直平分线 直线MN垂直于线段AB,并且平分线段AB. 2.若P是直线MN上任意一点,则PA与PB有什么关系呢 △PAB是什么三角形 PA=PB,△PAB是等腰三角形. 3.除了课本上所给的证明方法外,你还能想出其他的证明PA与PB关系的方法吗 能,如图,在Rt△PAC中,由勾股定理有PA=,同理PB=.∵AC=BC,∴PA=PB. 归纳总结 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 . 相等 ·导学建议· 除了课本上所给出的证法外,其实还存在其他的证明PA=PB的方法,若课堂上时间允许,教师可以预留出一些时间,和学生一起深入探究这一问题. 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 阅读课本本课时“想一想”至“随堂练习”之间的内容,思考下列问题. 1.线段的垂直平分线的性质定理的条件是什么 结论呢 条件:线段垂直平分线上一点. 结论:这一点到这条线段两个端点的距离相等. 2.你能写出它的逆命题吗 逆命题:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 3.请你完善下列解题过程. 已知:如图,线段AB,P为平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:方法一:取AB的中点C,连接PC, ∵AC=BC,PA=PB,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SSS), ∴∠PCA=∠PCB=90°. 即PC垂直AB并且通过线段AB的中点C,所以点P在线段AB的垂直平分线上. 方法二:过点P作已知线段AB的垂线PC. ∵PA=PB,PC=PC. ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL), ∴AC=BC. 即点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳总结 到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的 上. 垂直平分线 导学建议· 在学习线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理时,教师可以让学生分别找出它们的条件和结论进行比较,这样更有利于学生认清它们是互逆定理的本质. 阅读课本“例1”的内容,请你用其他方法进行证明. 证明:记AO与BC的交点为D. ∵AB=AC,OB=OC,AO=AO, ∴△ABO≌△ACO(SSS), ∴∠AOB=∠AOC, ∴∠BOD=∠COD. 又∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD, ∴△OBD≌△OCD(AAS), ∴BD=CD,∠ODB=∠ODC=90°, 即直线AO垂直平分线段BC. 方法归纳交流 证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有哪两种方法 第一种:根据线段垂直平分线的定义,也就是经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.使用这种方法必须满足两个条件:一是垂直,二是平分. 第二种:可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上,根据两点确定一条直线,就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线. 在△ABC中,AB=AC,BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4,则AD+AE的值为 ( ) A.6 B.10 C.6或14 D.6或10 C 【变式训练】 如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,BE=3 cm,△ACD的周长是13 cm,求△ABC的周长. 解:∵DE是BC的垂直平分线, ∴BC=2BE=6 cm,BD=CD. ∵AD+DC+AC=13 cm, ∴AD+BD+AC=13 cm,∴AB+AC+BC=13+6=19 cm. 方法归纳交流 如何求几条线段长度的和 利用线段的垂直平分线的性质转化为已知长度的线段再求解. 在平面直角坐标系中,已知A(-1,3),B(-1,-1).下列四个点中,在线段AB垂直平分线上的点是 ( ) A.(0,2) B.(-3,1) C.(1,2) D.(1,0) B 方法归纳交流 通过观察可知AB平行于 轴,则AB的垂直平分线平行于 轴,只要计算出AB的 的纵坐标,判断答案中纵坐标是否与中点的纵坐标一致即可. y x 中点 如图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,连接EF.求证:OP垂直平分EF. 证明:∵PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∴∠PEO=90°=∠PFO. 在△PEO和△ ... ...
