专题02 平行线模型-“铅笔”模型 上节课利用平行线的性质和判定学行线模型-“猪蹄”模型（M型），相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课继续学习平行线模型-“铅笔”模型。 【模型刨析】 模型二：“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例分析】 【典例1】(2023秋 驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数． 请写出具体求解过程． 问题迁移： （1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【变式1-1】(2023春 常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上． 猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝ °； 探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论； 拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数． 【变式1-2】(2023春 鹿邑县月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F． （1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数； （2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式1-3】(2023秋 南岗区校级月考）已知：如图，AB∥CD （1）如图1，求证：∠A+∠E+∠D＝360°； （2）如图2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．探究∠AFD与∠AED的数量关系 （直接写出结论）． （3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：2，AF延长线交CD于点G．求：∠BAH的度数． 【夯实基础】 1.(2023秋 朝阳区校级期末）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度． 2．(2023秋 雁塔区校级期末）如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ． 3．(2023春 大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE． （1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明； （2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F． ①依题意补全图形； ②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系． 4．(2023秋 九江期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n． （1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ； （2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ； （3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明） 5．(2023春 普兰店区期中）直线AB∥CD，点E在AB和CD之间任一点，射线EF经过点B． （1）如图1，若DE∥AC，∠CAB＝130°，∠ABF＝80°，求∠DEB的度数； （2）如图2，若∠CAB＝a，∠CDE＝2∠ACD，若∠BED＝140°，求∠ABE的度数（用含α式子表示）． （3）如图3，若∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点Q，试找出∠E和∠Q的数量关系并说明理由． 6.(2023春 宾阳县期中）如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°． （1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值： （2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数： （3）如图3 ... ...
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