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课件网) 沪科版九年级下册 第二十四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径分弦 前 言 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标及重难点 课程导入 等腰三角形 平行四边形 矩形 等腰三角形、平行四边形、矩形，它们谁具有对称性呢？ 课程导入 菱形 正方形 菱形、正方形也具有对称性，那么圆是否也具有对称性呢？ 圆 课程讲授 新课推进 探索1：垂径定理及其推论 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 课程讲授 新课推进 B O A C D E 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB， （或 ） 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 例1 课程讲授 新课推进 证明：连结OA、OB. 则OA＝OB，△OAB为等腰三角形，所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线，因此点A与点B关于直线CD对称. B O A C D E B O A C D E P Q 同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q，则点P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称.当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， 与 重合， 与 重合. 课程讲授 新课推进 课程讲授 新课推进 · O A B D E C 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AE=BE，AC =BC，AD =BD.(结论) ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 课程讲授 新课推进 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 课程讲授 新课推进 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 解：（1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例2 课程讲授 新课推进 课程讲授 新课推进 垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为： ∵ CD是直径，AE=BE，(条件) ∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论) ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 课程讲授 新课推进 垂径定理的本质是: 知二得三 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 课程讲授 新课推进 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离. 解：连接OA，过圆心O作OE⊥AB， 垂足为E，则 又∵OA=5cm， 答：圆心到弦AB的距离是4cm. ∴在Rt△OEA中，有 · O A B E 例3 课程讲授 新课推进 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道 如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 例4 课程讲授 新课推进 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交 AB于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m. 由垂径定理，得AD= AB= ×37.4=18.7(m) 设⊙O的半径为R m，在Rt △AOD中， AO = R, OD = R -7.2, AD = 18.7. 由勾股定理，得AO2 = OD2 + AD2. ∴ R2 = (R -7.2)2 +18. 72. 解方程， 得R ≈ 27. 9. 答：赵州桥 ... ...
