(课件网) 第三章 圆 3.3 垂径定理 1.垂径定理 2.垂径定理的推论. （重点、难点） 学习目标 新课导入 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ （2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交 流. 新课讲解 如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂 足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关 系？说一说你的理由. 新课讲解 定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 用几何语言表述为： 如图，在⊙O中， 新课讲解 下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ D O C A E B D O C A E B 图1 图2 图3 图4 O A E B D O C A E B 新课讲解 例 如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线 AB 上两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 新课讲解 分析： 构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明. 解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M， ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 新课讲解 如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD)， 交AB于点M. （1）图是轴对称图形吗？如果是， 其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 新课讲解 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧. 新课讲解 推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，即：如图，在⊙O中， 新课讲解 练一练 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM ＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( ) A．8 cm cm C．6 cm D．2 cm A 课堂小结 垂径定理： (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. (2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： ①直线过圆心； ②直线垂直于弦； ③直线平分弦(不是直径)； ④直线平分弦所对的优弧； ⑤直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题． 当堂小练 1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5 C 当堂小练 2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m B 拓展与延伸 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C A.6 B.8 C.10 D.12 1.(1)如图，☉O的半径为10，弦AB的长度是12，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝( ) B 课后练习 (2)(人教9上P122改编)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，BE＝1，则弦CD的长是 . 2 A.6 B.7 C.8 D.10 2.(1)如图，☉O的半径为5，M是AB的中点，且OM＝3，则☉O的弦AB等于( ) C (2)(全国视野)(2023宜昌)如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为 . 4 3.(传统文化)(北师9下P76、人教9上P82)(2023广西)1 400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1 m). 解：设桥拱所在圆的半径为R m， 连接OA，由题意可知AB＝37.4 m，CD＝7.2 m， ∴OD＝OC－CD＝(R－7. ... ...
