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课件网) 第一部分 专项突破 难点·压轴专项 专项九 二次函数的综合探究 二次函数是初中数学的核心内容之一，它是学生升入高中学习函数的基础.在 学考中，往往将二次函数的综合探究题设为主压轴题或次压轴题.其呈现形式灵活， 在以二次函数为主体的条件下与其他方面的知识结合考查极为普遍，同时伴有对各 种数学思想方法的考查，渗透抽象能力、推理能力、模型观念、运算能力、几何直 观等核心素养.考查的类型主要有：①与二次函数性质有关的探究问题；②与动点 有关的二次函数问题；③与图形变换有关的二次函数问题；④与规律有关的二次函 数问题；⑤与新定义有关的二次函数问题;⑥几何背景下的二次函数图象与性质探 究问题. 类型1 与二次函数性质有关的探究问题 【解题策略】在二次函数的性质探究问题中，一般用待定系数法求解二次函数 的解析式.当问题中涉及等腰三角形时，一般需要分类讨论，根据二次函数的性质 解决相关问题. . . . . 例1 [2024·湖北模拟] 在平面直角坐标系中，已知抛物线 和直线，点， 均在直线 上． （1） 若抛物线与直线有交点，求出 的取值范围； （2） 当，二次函数的自变量满足 时， 函数的最大值为，求 的值； （3） 若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出 的取值范围． 【自主解答】 （1） 若抛物线与直线有交点，求出 的取值范围； 解：将点，代入，得 ． 联立与，则有 . 抛物线与直线有交点，，且 . （2） 当，二次函数的自变量满足 时， 函数的最大值为，求 的值； 解：根据题意可得 . ， 抛物线开口向下，对称轴为直线 ． 当时，有最大值， 当时，有 ， 或 . ①在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时， 有最大值 ， ； ②在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值 ． 综上所述，或 . （3） 若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出 的取值范围． 【自主解答】 解：①，时，，即 ； ②，时，，即 . 直线的解析式为 ， 将抛物线与直线联立得 ， ， ， ． 的取值范围为或 ． 类型2 与动点有关的二次函数问题 【解题策略】与动点有关的二次函数问题，主要表现在：①某一动点在抛物线 上运动所产生的线段、三角形或其他图形运动变化的一系列相关的数学问题；②抛 物线自身（顶点）沿着某条直线或曲线运动，从而产生图形位置、线段长短、图形 面积等变化.对于第①种情况，需要特别关注动点的坐标始终满足抛物线的解析式， 据此建立变量关系；对于第②种情况，一般把握抛物线顶点与运动状态、抛物线开 口方向的变化特征.两种情况都要准确把握运动变化过程中的等量关系及变量关系. . . . . 例2 [2024·南昌模拟] 如图，已知抛物线 与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点 . （1） 判断 的形状，并说明理由． （2） 设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点 作轴于点，交于点，设四边形的面积为 ， （3） 在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以,,,为顶点的四边形是菱形 若存在，写出点 的坐标，并选择一个 点写出过程；若不存在，请说明理由． 求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和 的面积. 【自主解答】 （1） 判断 的形状，并说明理由． 解： 是直角三角形.理由如下： 与轴交于,两点（点在点 的 左侧），与轴交于点 ， 令，得；令，得或 . ，， . ，，，， . ，即， 是直角三角形，且 . （2） 设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于点 ，交 于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使 最大时 点的坐标和 的面积. 解：，， 直线 的解析式为 . ， ， . . ， ， . 当时， 的最大值为8，此时 ， . . （3） 在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的 ... ...
